第12章微分方程
12.1微分方程的基本概念
一 主要内容
名称 微分方程 方程的阶 线性微分方程 内容 ⅰ联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程； ⅱ函数只含有一个自变量的微分方程称为常微分方程． 微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数． 线性微分方程的特征是未知函数及其导数（微分）在方程的各项中都以一次的形式出现． ⅰ函数y??(x)满足微分方程，即将y??(x)代入方程能使方程成为恒等式，则函数y??(x)是方程的一个解（显式解）． ⅱ如果由?(x,y)?0所确定的隐函数y??(x)为微分方程的一个解，则称解 ?(x,y)?0为该方程的一个隐式解． 通解 特解 初始条件 初值问题 积分曲线 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称这样的解为该方程的通解（也称一般解）． 微分方程不包含任意常数的解称为微分方程的特解． 确定通解中的任意常数的条件：y(x0)?y0,y?(x0)?y1等称为初始条件． 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题． 方程的解的图形称为方程的积分曲线． 二 疑难解析
1. 微分方程非初值问题、初值问题与微分方程的解及图形有什么关系？
答 微分方程非初值问题（即无初始条件）的解是通解，其几何图形是曲线簇；微分方程初值问题的解是特解，其图形是一条曲线．反过来，微分方程反映了满足此方程式的曲线（簇）的性质特征.
2．所有的微分方程是否都有通解？
不一定！微分方程的通解是指含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。例如考虑下列两个微分方程：
y??1?0, 此方程显然无解，
2y?2?y2?0, 此方程仅有一个解y?0,
由此可见，不是所有的微分方程都有通解。
3．微分方程的通解是否能包含它的所有解？ 不一定！例如微分方程
1
y?2?y2?1?0,因为由y?sin(x?C)得y??cos(x?C),，故 y?2?y2?1?cos2(x?C)?sin2(x?C)?1?0,
所以y?sin(x?C)是y?2?y2?1?0的解，又因解中含有一个任意常数，与方程的阶数相同，所以它是通解。
但是y??1显然也是微分方程y?2?y2?1?0的解，但它不包含在通解中，也就是说在通解中无论C取什么值，都不可能有y??1。这里y??1称作原方程的奇解。奇解y??1的曲线和积分曲线y?sin(x?C)都是相切的。课本中对微分方程的奇解未进行讨论。同学们只要知道这一概念即可。
三 典型例题
1. 判断函数是否为所给微分方程的通解
?C2e?2x(?1??2);
（2）(x?2y)y??2x?y,由方程x2?x?y2?C确定的隐函数y．
（1）y???(?1??2)y???1?2y?0,y?C1e
解 （1）y??C1?1e?1x?C2?2e?2x,y???C1?12e?1x?C2?22e?2x，代入原方程得 左边=C1?12e1?C2?22e?x?x?2x?1x?(C1?12e?1x?C2?1?2e?2x
?2x2 =?C1?1?2e1?C2?2e)?C1?1?2e?1x?C2?1?2e?2x?0=右边.
所以y是该方程的解.
（2）方程x2?x?y2?C两边对x求导，得： 2x?1?2yy??0，不满足原微分方程. 所以y不是该方程的解.
2. 设曲线过点（2，3），它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求此曲线满足的微分方程．
解 设曲线的方程为y?y(x)，设切点坐标为(x,y)，依条件有
y?dy???x，解得：xy?C，代入初始条件得C?6，所求方程为：xy?6 ?dx?y?x?2?33. 求曲线簇y?C1ex?C2e2x满足的微分方程．
解 由例1(1)知，由?1?1,?2?2，所求方程为：y???3y??2y?0
四 综合与提高
t??x?te1. 求函数?所满足的一阶微分方程，并指出其是否是线性微分方程． ?ty?e??解 由复合函数求导法则，得
2
dx1?xy11dy?e?t?y?y2????x 或?t??y2ydxe?t?et1/y?x1?xydy?y2即为函数所满足的一阶微分方程．若以y为未知函数，该方程不是线性方程；若以x为未知函数，该方程是线性方程．
2. (1991，江苏省高等数学竞赛)已知微分方程y???x?xy，求????有特解y?ln|x|xy???(x)．
解 因y??ln|x|?1，代入微分方程得
(ln|x|)2ln|x|?11???(ln|x|) 2(ln|x|)ln|x|令t?ln|x|，得?(t)?
t?11t?1?t11?????(x)??，故． 2222ttttx12.2 可分离变量的微分方程
一 主要内容
名称 微分方程 形如内容 dy?f(x)g(y)或f1(x)g1(y)dx?f2(x)g2(y)dy?0 的微分方程称为可分离dx变量的微分方程． 解法 齐次方程 变量代换 分离变量法：dy?g(y)??f(x)dx?C． dydudyy?u?x． ??()，作变换y?xu，化为dxxdxdx齐次方程的求解方法实际上是通过变量代换的方法，将方程转换为能求解的类型． 二 疑难解析
1. 怎样求解可分离变量的微分方程？ 答 如果微分方程y??f(x,y)可分离变量成
g(y)dy?f(x)dx或
M1(y)N(x)dy?1dx
M2(y)N2(x)则两边积分可得G(y)?F(x)?C. 值得注意的是, 这是一个隐式解，由于含有任意常
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数，因此又叫隐式通解．隐式解通常不要求化成显式解．
2. 怎样建立应用问题的微分方程？
答 常用直接法和间接法，要根据具体情况选用．
直接法是利用物理、化学、几何定理确定具体问题的自变量、未知函数和未知函数的导数，写出微分方程和初始条件．
间接法又叫小元素平衡法，是通过具体问题中的微小量的分析，找出自变量、未知函数和未知函数的导数，从而建立微分方程并确定初始条件．
3. 用可分离变量法解微分方程是否会发生丢掉原方程解的情况？怎么办？
答 用可分离变量法解微分方程可能发生丢掉原方程解的情况.例如解微分方程
x2dy?y2dx?0，两边同除以x2y2(xy?0)得
丢掉了解x?0与y?0．
应该采取适当的措施将丢失的解补回．
dydx11???C，确实就，积分得通解
yxy2x2三 典型例题
对可分离变量的微分方程，可先将y?改写成
dy，再分离变量求解．对某些较困难的微dx分方程，可先作变量代换，对新变量作变量分离，积分后再代换回去．遇到积分后两边都有对数的情形，可将积分常数C写作lnC，以便消去解中的对数记号．
1. 求解微分方程： （1）1?y2dx?1?x2dy?0; （2）y??ysinx; （3）y??exy?0; （4）y??x3y3xy??y?0,y|x?1?2; （6）,y|x?1?0; （5）(x2?1)y??2xy2?0,y|x?0?1.
解 （1）分离变量得：（2）分离变量得：（3）分离变量得：
dy1?y2?dx1?x2，两边积分得：arcsiny?arcsinx?C；
dy?sinxdx，两边积分得：lny??cosx?C,或y?Ce?cosx； ydyx??exdx，两边积分得：lny??ey?C；
（4）分离变量得：y3dy?x3dx，两边积分得：
y4?x4?C,由y(1)?0,得C??1,y4?x4?1；
(5)分离变量得：
dydx?，两边积分，得通解：lny?lnx?lnC,y?Cx， yx 由初始条件y(1)=2,知：C?2,（6）分离变量得：
dyy2?2xdx1?x2?y?2x．
，
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两边积分得：
1y?ln|1?x2|?C,由y(0)?1,得C?1,y?1ln|1?x2|?1. 2. 求下列方程的通解 y（1）xydy?[y2?(x?y)2e?x]dx?0； （2）xdydx?ylnyx； （3）y(x2?xy?y2)dx?x(x2?xy?y2)dy．
解 (1) 原方程可化为dydx?y?yx??yxyx???x?y?2??e，令u?x，则
u?xdu?1?dx?u???u?u?2??e?u 解得?euu?1?lnx?lnC，代入u?yx整理得 ??yCx?exp?xex??????x?y? ??(2) 原方程可化为
dydx?yyyxlnx，令u?x，则 u?xdudx?ulnu 解得ln(lnu?1)?lnx?lnC，代入u?yx整理得 lnyx?Cx?1 (3) 原方程可化为dyy1?y?y?2x???x??dx?xu?y1?y，令?y?2x，则 x???x??u?xdu1?u?u2dx?u1?u?u2
解得
1u?lnu?u?2lnx?lnC，代入u?y
x
整理得 Cx2?exp??xyy??y?x?lnx?? 3. 求解微分方程：
（1）y??(2x?y?1)2； （2）xy??y?y(lnx?lny)；5