四 综合与提高
1.（2002年，数学一）微分方程yy???y?2?0满足初始条件y解是 . ．
解 这是二阶的可降阶微分方程.
令y'?P(y)(以y为自变量),则y''?x?0?1,y'x?0?1的特2dy'dPdP??P. dxdxdy代入方程得 yPdPdP?P2?0,即y?P?0(或P?0,但其不满足初始条件dydyy'x?0?1). 2dPdy??0, Py分离变量得
积分得
lnP?lny?C',即P?C1(P?0对应C1?0); y由x?0时y?1,P?y'?11,得C1?.于是 22y'?P?又由y1,2ydy?dx,积分得y2?x?C2 2yx?0?1得C2?1,所求特解为y?x?1.
2. (1999年，数学一、二)设函数y?y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1．过曲线
y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴围成的三角
形的面积为S1，在区间[0,x]上以y?y(x)为曲边的曲边梯形的面积为S2，并设2S1?S2的面积恒为1．求曲线y?y(x)的方程．
解 设过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)的切线方程为Y?y?y?(x)(X?x)
它与x轴的交点为(x?y,0)．由于y?(x)?0,y(0)?1，从而y(x)?0，于是 y? 16
1yy2 S1?yx?(x?)?2y?2y?又S2??x0y(t)dt，故由2S1?S2?1得
xy2?y(t)dt?1． ① y??0两边对x求导，得yy???y?2，令y??p,则y???pdp，于是方程化为 dyypdpdpdy?p2???y??p?C1y即y?eC1x?C2， dypy由①知y?(0)?1及y(0)?1知，C1?1,C2?0，故所求曲线方程为y?ex
12.5二阶常系数线性微分方程
一 主要内容
1 二阶线性微分方程解的结构二阶常系数非齐次线性微分方程
名称 ⅰ方程 内容 dnydn?1y?a1(x)n?1???an(x)y?f(x) ① ndxdx称为n阶线性微分方程． 当f(x)?0时方程 线性微分方程 dnydn?1y?a1(x)n?1???an(x)y?0 ② ndxdx称为齐次的；当f(x)?0，称为非齐次的． ⅱ方程y???p(x)y??q(x)y?f(x) ③ 称为二阶线性微分方程． 当f(x)?0时方程 齐次方程解的结构 y???p(x)y??q(x)y?0 ④ 称为齐次的；当f(x)?0，称为非齐次的． 设?1(x),?2(x)是齐次方程④的两个解，则y?C1?1(x)?C2?2(x)也是方程④的解，其中C1,C2是任意常数． 设?1(x),?2(x)是二阶线性齐次微分方程④的两个线性无关的特解，则方程④的通解为y?C1?1(x)?C2?2(x)其中C1,C2是任意常数． 17
非齐次方程解的结构 设y*是③的一个特解，Y是其对应齐次方程④的通解，则y?Y?y*是线性非齐次方程③的通解． 设**分别是方程y???p(x)y??q(x)y?f1(x)y1,y2**是方y???p(x)y??q(x)y?f2(x)的解，则y1?y2y???p(x)y??q(x)y?f1(x)?f2(x)的解． 与程 2 二阶常系数线性微分方程
名称 称方程 内容 y???py??qy?0 ① 定义 为二阶常系数齐次线性微分方程，对应代数方程 r2?pr?q?0 ② 称为方程①的特征方程． ⅰ当方程②有两个不等实根r1,r2时，方程①的通解为 y?C1er1x?C2er2x 解法 ⅱ当方程②有两个相等实根r1?r2?r时，方程①的通解为 y?(C1?C2x)erx ⅲ当方程②有一对共轭虚根??i?时，方程①的通解为 y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) ３ 二阶常系数非齐次线性微分方程
称方程 定义 y???p(x)y??q(x)y?f(x)，其中p,q为常数，f(x)?0 ① 为二阶常系数齐次线性微分方程 ⅰf(x)?Pn(x)e?x型，可用待定系数法构造特解为y*?xkQn(x)e?x，其中 ?0,?不是特征根?k??1,?是单重特征根 ?2,?是两重特征根?特解构造法 Qn(x)是与Pn(x)同次幂的多项式 ⅱf(x)?e?x[P型，构造特解为 l(x)cos?x?Pn(x)sin?x)(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x], ?0??i?不是特征根其中k??， 1??i?是特征根?(1)(2)l,n} Rm(x),Rm(x)是m阶多项式，m?max{ 二 疑难解析
1. 怎样求常系数齐次线性微分方程的解？
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答 对二阶常系数齐次线性微分方程，求通解的步骤是 ⑴写出微分方程的特征方程r2?pr?q?0 ⑵正确求得特征方程的特征根r1,r2； ⑶根据特征根写出齐次线性微分方程的通解．
这里，正确求得特征方程的特征根是关键，尤其是n阶齐次方程的情形，求特征根比较复杂，更要注意．
2. 求二阶非常系数齐次线性微分方程的通解通常有哪能些步骤？需要注意哪些问题？
答 对二阶非常系数齐次线性微分方程，求通解的步骤是 ⑴写出对应齐次特征方程； ⑵求出对应齐次特征方程的特征根； ⑶写出对应齐次微分方程的通解； ⑷求出非齐次微分方程的一个特解； ⑸写出非齐次微分方程的通解；
如果要求满足初始条件的非齐次微分方程的一个特解，则还应有： ⑹根据初始条件确定任意常数，求出特解．
全部过程中最关键也是最困难的是步骤⑷，要根据对应齐次微分方程的特征根和方程形式确定特解形式，然后用待定系数法确定特解，因此一定要熟练、细心．
3. 二阶线性齐次微分方程解的结构定理中，如果y1,y2是y???p(x)y??Q(x)y?0的两个
线性无关的特解，那么y?C1y1?C2y2(C1,C2为任意常数)为该线性齐次方程的通解。这里“线性无关”能否可去掉？为什么？
不能去掉。C1y1?C2y2是方程y???p(x)y??Q(x)y?0的解，这一性质称为线性齐次方程的叠加原理。但C1y1?C2y2不一定是该方程的通解，这里虽然两个任意常数，但当
y1与y2线性相关时，两常数就会合并为一个任意常数，因而C1y1?C2y2不是该方程的通
解；只有当y1和y2线性无关时，C1y1?C2y2是该方程的通解。
*4. 对于方程y???4y?sin2x，为什么特解仍设为y?x(Acos2x?Bsin2x），而不设
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为y*?xAsin2x呢？
这是因为方程右端虽然仅含sin2x，没有cos2x，但实际上cos2x的多项式因式是0，可以视为0次多项式，根据设特解的规则仍设为y*?x(Acos2x?Bsin2x）。反之，若设
y*?xAsin2x就会导致错误，而求不出正确的解。
三 典型例题
1、解微分方程：
（1）y???4y??3y?0； （2）y???2y??0； （3）y???4y??4y?0； （4）y???2y??3y?0； （5）y???y??2y?0．
解 （1）方程特征根为：r1??1,r2??3,?y?C1e?x?C2e?3x； （2）方程特征根为：r1?0,r2?2,?y?C1?C2e2x； （3）方程特征根为：r1?r2?2,?y?(C1?C2x)e2x；
（4）方程特征根为：r1??1?2i,r2??1?2i,?y?e?x(C1sin2x?C2cos2x)；
?171777i,r2???i,?y?e2(C1sinx?C2cosx)． （5）方程特征根为：r1???222222x
2、解微分方程：
（1）y???y??2y?3xex ; （2）y???3y??2y?e2xsinx; （3）y???y?4xex ; （4）y???y?4sinx; （5）y???3y??2y?e?x?ex ; （6）y???4y??4y?ex?sinx 解 （1）特征方程的根为：?1?1,?2??2，所以对应齐次方程的通解为： Y?C1ex?C2e?2x
方程特解的待定形式为：y?x(ax?b)ex，所以
y??[x(ax?b)?2ax?b]ex?[ax2?(2a?b)x?b]ex
y???[ax2?(2a?b)x?b?2ax?2a?b]ex?[ax2?(4a?b)x?2(a?b)]ex
代入方程y???y??2y?3xex，得：
ex[(4a?b?2a?b?2b)x?2a?2b?b]?ex(6ax?2a?3b)?3xex
11,b??所以方程的解为： 2311y?C1ex?C2e?2x?(x2?x)ex
23（2）特征方程的根为1和2，方程特解的待定形式为：
比较系数，得：a?y?e2x(asinx?bcosx)y??e2x[(a?2b)cosx?(2a?b)sinx]，
y???e2x[(3a?4b)sinx?(4a?3b)cosx]代入方程得：(?a?b)sinx?(a?b)cosx?sinx，
1e2x比较系数，得：a?b??,即y??(sinx?cosx)
22对应齐次方程的通解为：Y?C1ex?C2e2x所以方程的通解为：
e2xy?C1e?C2e?(sinx?cosx)．
2（3）特征方程的根为i和-i，方程特解的待定形式为：y?(ax?b)ex
x2x 20