y??(ax?a?b)ex,y???(ax?2a?b)ex
代入原方程，得：(2ax?2a?2b)ex?4xex,比较系数,得:a?2,b??2,y?2(x?1)ex， 对应齐次方程的通解为：Y?C1sinx?C2cosx，
所以原方程的通解为：y?C1sinx?C2cosx?2(x?1)ex．
（4）特征方程的根为i和-i，方程特解的待定形式为：y?x(asinx?bcosx)，
y??asinx?bcosx?x(acosx?bsinx),y???2(acosx?bsinx)?x(?asinx?bcosx)， 代入方程得:2(acosx?bsinx)?x(?asinx?bcosx)?x(asinx?bcosx)?4sinx比较系数,得a?0,b??2,即y??2xcosx对应齐次方程的通解为：Y?C1sinx?C2cosx
所以原方程的通解为：y?C1sinx?C2cosx?2xcosx
（5）特征方程的根为：1，2．特解的待定形式为：y?ae?x?bxex y???ae?x?b(x?1)exy???ae?x?b(x?2)ex代入方程,得:6ae?x?bex?e?x?ex11,b??1,即:y?e?x?xex66对应齐次方程的通解为：Y?C1ex?C2e2x 比较系数,得:a?
1所以方程的通解为：Y?C1ex?C2e2x?e?x?xex．
6（6）2是特征方程的重根．方程特解的待定形式为：y?aex?bsinx?ccosx
y??aex?bcosx?csinx,y???aex?bsinx?ccosx，代入原方程得： aex?(3b?4c)sinx?(3c?4b)cosx?ex?sinx
341,c?,y?ex?(3sinx?4cosx)， 比较系数，得：a?1,b?252525对应齐次方程的通解为：Y?(C1?C2x)e2x，
1所以原方程的通解为：y?(C1?C2x)e2x?(3sinx?4cosx)．
253. 写出下列非齐次方程特解的形式：
（1）y???y?xcosx； （2）y???y??2y?x2e?x； （3）y????2y???y??x2ex?2x； （4）y???2y??y?excos2x
0?i是特征根，所以方程特解解：（1）特征方程为：r?1?0解得r1,2??i. 所以
的待定形式为：y?x[(ax?b)sinx?(cx?d)cosx];
（2）由r?r?2?0得r,r2?2. 所以?1是特征根，所以方程特解的待定形式1??1为：y?x(ax?bx?c)e2?x22
2（3）特征方程为：r?2r?r?0解二重根r1?r2??1及r3?0. 所以0是特征根，1不是特征根，所以方程特解的待定形式为：y?(ax?bx?c)e?x(dx?f)
（4）方程可化为y???2y??y?
2x31x1ecos2x?ex，由r2?2r?1?0得二重根2221
r1?r2?1. 所以1是特征根，1?2i不是特征根，所以方程特解的待定形式为：
y?ex(acos2x?bsin2x?cx)
4. 一质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比(比例系数为k)．求质点下降深度与时间t的函数关系．
解：设下降深度与时间的关系为h=h(t)，质点受力为重力F和阻力f．由题意
f??kh?,F?mg
k由牛顿第二定律，得：mh????kh??mg,即:h???h??g
m由题意知初始条件为：h(0)?0,h?(0)?0
k，方程特解的待定形式为h?Ct． mmgmg代入方程知：C?,h?t
kk特征方程的根为0和?又对应齐次方程的通解为：H?C1?C2所以原方程的通解为：h?C1?C2e代入初始条件，得：C1??m2gk2?kmtk?tem
?mgt k,C2?m2gk2,h?m2gk2k?tm(e?1)?mgt． k5. 一弹簧悬挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数??24N/(m/s)．当弹簧受到强迫力f?100sin10t(N)的作用后，物体产生了振动．设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零，求振动规律．
解：由题意，知弹性系数为200．物体受力为弹力、阻力和强迫力．设物体运动规律为s=s(t).
则有：2s????24s??200s?100sin10t,所以 s???12s??100s?50sin10t 初始条件为：s(0)?0,s?(0)?0
特征方程的根为：-6+8i,-6-8i．方程特解的待定形式为：s?asin10t?bcos10t s??10acos10t?10bsin10t,s????100asin10t?100bcos10t 代入方程，得：?120bsin10t?120acos10t?50sin10t
55 比较系数，得：a?0,b??,s??cos10t
1212 对应齐次方程的通解为：S?e?6t(C1sin8t?C2cos8t)
5 所以原方程的通解为：s?e?6t(C1sin8t?C2cos8t)?cos10t
12 代入初始条件，得：C1?55555,C2?,s?e?6t(sin8t?cos8t)?cos10t． 16121612126. 证明：如果y1,y2分别是非齐次线性微分方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)
的两个解，则y1?y2是对应齐次方程的一个解．
证明：依题意：
22
???p(x)y1??q(x)y1?f(x)?y1 ????p(x)y2??q(x)y2?f(x)?y2将y1?y2代入方程得
(y1?y2)???p(x)(y1?y2)??q(x)(y1?y2)???p(x)y1??q(x)y1]?[y2???p(x)y2??q(x)y2] ?[y1?f(x)?f(x)?0所以y1?y2是对应齐次方程y???p(x)y??q(x)y?0的一个解．
四 综合与提高
1. （2001年，数学一）设y?ex(asinx?bcosx)（a,b是任意常数）是某二阶常系数微分方程的通解，则该方程为 ．
解1 由通解知，对应的特征根为r1,2?1?i，故特征方程为
[r?(1?i)]?[r?(1?i)]?r2?2r?2?0
故所求微分方程为y???2y??2y?0
解2 一般方法是由y?ex(asinx?bcosx)得
y??ex[(a?b)sinx?abcosx] y?ex(?2bsinx?2acosx)
由以上三式消去常数a,b，得所求微分方程为y???2y??2y?0
2. （2003年，数学一）设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微2dydy分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解. 2分析 将
1dydxdx1?，关键是应注意： 转化为比较简单，=
y?dxdydydydx 23
d2xddxd1dx?()=()? 2dydydxy?dydy?y??1y?? =2?. ??y?y?(y?)3然后再代入原方程化简即可.
解 (1) 由反函数的求导公式知
dx1?，于是有 dyy?y??d2xddxd1dx?y??1==. ()?????()232????dxydyydydyy(y)dy代入原微分方程得
y???y?sinx. ( * )
(2) 方程( * )所对应的齐次方程y???y?0的通解为 Y?C1ex?C2e?x. 设方程( * )的特解为
y*?Acosx?Bsinx，
11*，故y??sinx，从而y???y?sinx的通解是 221*x?x y?Y?y?C1e?C2e?sinx.
23由y(0)?0,y?(0)?，得C1?1,C2??1. 故所求初值问题的解为
21x?xx. y?e?e?sin2代入方程( * )，求得A?0,B??3. （2002年，数学一）
x36393x3n(1)验证函数y(x)?1????L??L(???x???)满足微分方程
3!6!9!(3n)!y???y??y?ex;
x3n(2)利用(1)的结果求幂级数?的和函数.
n?0(3n)!?证明 (1)因为幂级数
x3x6x9x3ny(x)?1????L??L
3!6!9!(3n)! 24
的收敛域是(???x??),因而可在(???x??)上逐项求导数,得
x2x5x8x3n?1y'(x)????L??L,
2!5!8!(3n?1)!x4x7x3n?2y''(x)?x???L??L,
4!7!(3n?2)!所以
x2xny''?y'?y?1?x??L??L?ex(???x??).
2!n!(2)与y''?y'?y?ex相应的齐次微分方程为y''?y'?y?0, 其特征方程为????1?0,特征根为?1,2??x2213?i. 22因此齐次微分方程的通解为Y?e(C1cos?33x?C2sinx). 22设非齐次微分方程的特解为y??Aex,将y?代入方程y''?y'?y?ex可得
A?11x?,即有y?e. 33??x2于是,方程通解为y?Y?y?e(C1cos331x?C2sinx)?ex. 2231?y(0)?1?C?,1?23?当x?0时,有??C1?,C2?0.
3?y'(0)?0??1C?3C?1.12?223?x2?231x3n于是幂级数?的和函数为y(x)?ecosx?ex(???x??)．
323n?0(3n)!?x4. （2014年研）设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足
?2z?2zx2x．若f(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式． ??(4z?ecosy)e22?x?y解 设u?ecosy，则z?f(u)?f(ecosy)，
xx?z?f'(u)excosy,?x?2z?f\(u)e2xcos2y?f'(u)excosy; 2?x 25
?z??f'(u)exsiny,?2z?y?f\(u)e2xsin2y?f'(u)ex?y2cosy； ?2z?x2??2z?y2?f\(u)e2x?f\(excosy)e2x ?2由条件z?2zx?x2??y2?(4z?ecosy)e2x，可知f\(u)?4f(u)?u
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：
f(u)?C1e2u?C?2u2e其中C1,C2为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为y*??14u． 故非齐次方程通解为f(u)?C2u1e?Ce?2u?124u．
将初始条件f(0)?0,f'(0)?0代入，可得C11?16,C?12?16． 所以f(u)的表达式为f(u)?12u16e?116e?2u?14u．
26