有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。
2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重点 目标 特色 灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列算子 任意分布 内涵 现实规律 小样本 表1
2.2、灰色系统的特点
灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。
在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。
1，2，3
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率统计 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本 模糊数学 认知不确定 模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭经验 不确定量 量化（用确定量的方法研究）
1、概率论与数理统计； 2、模糊数学； 3、灰色数学（灰色系统理论）
（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。
灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。 （3）灰色系统理论能处理贫信息系统。
灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。
3
2.3、常见灰色系统模型 GM(1,1)模型 GM(1,N)模型 GM(0,N)模型 GM(2,1)模型 Verhulst模型
目前，最常用、研究最多的是GM(1,1)模型。 2.4、灰色预测
灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：
(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
(4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。
上述灰预测方法的共同特点是： a.允许少数据预测；
b.允许对灰因果律事件进行预测，比如:
? 灰因白果律事件 在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。
? 白因灰果律事件 在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。
c.具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。
2.5、基本概念
2.5.1、灰数的概念
在灰色系统中，灰数（或灰色数）是指信息不完全的数，例如：“那人的身高约为170cm、体重大致为60kg”，这里的“（约为）170（cm）”、“60”都是灰数，分别记为?170、?60。又如，“那
~?(h)?[157,160]?女孩身高在157－160cm之间”，则关于身高的灰数。记为灰数?的白化默认数，
~~~????简称白化数，则灰数为白化数的全体。灰数有离散灰数（属于离散集）和连续灰数（属
于某一区间）。灰数的运算符合集合运算规律。
4
2.5.2、灰色生成数列
在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰数的处理主要是利用苏剧处理方法寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据尽心处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。
2.5.3、累加生成
把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（Accumulated Generating Operation，简称AGO ）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。 设原始数列为x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),?,x(0)(n))，令
x(k)??x(0)(i),k?1,2,?,n,
(1)i?1k称所得到的新数列x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),?,x(1)(n))为数列x(r)k(0)的1次累加生成数列。类似地有
x(k)??x(r?1)(i),k?1,2,?,n,r?1，
称为x(0)的r次累加生成数列。
i?1 2.5.4、累减生成
对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程（IAGO）。如果原始数据列为x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),?,x(1)(n))，令
x(0)(k)?x(1)(k)?x(1)(k?1),k?2,3,?,n,称所得到的数列x(0)为x(1)的1次累减生成数列。
注：从这里的记号也可以看到，从原始数列x始数列。实际运用中在数列x 2.5.5、加权邻值生成
设原始数列为x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),?,x(0)(n))，称x(0)(1)(0)，得到新数列x(1)(1)，再通过累减生成可以还原出原
(0)?的基础上预测出x?，通过累减生成得到预测数列x。
(k?1),x(0)(k)为数列x(0)的邻值，
x(0)(k?1)为后邻值，x(0)(k)为前邻值。对于常数??[0,1]，令
z(0)(k)??x(0)(k)?(1??)x(0)(k?1),k?2,3,?,n
由此得到的数列z(0)称为数列x(0)在权?下的邻值生成数，权?也称为生成系数。
(0)(0)(0) 特别地，当生成系数??0.5时，则称z(k)?0.5x(k)?0.5x(k?1),k?2,3,?,n
为均值生成数，也称等权邻值生成数。 2.5.6、关联度 a、关联系数
??0??k??X??0??1?,X??0??2?,...,X??0??n?，X?0??k??X?0??1?,X?0??2?,...,X?0??n? 设X则关联系数定义为：
?????(k)???0??k??X?0??k???maxmaxX??0??k??X?0??k?minminX??0??k??X?0??k???maxmaxX??0??t??X?0??k?X5
??0??k??X?0??k?为第k个点X?0?与X??0?的绝对误差； 式中:①X? ②minminX?k??X?0??k?为两级最小差；
??0??k??X?0??k?为两级最大差； ③maxmaxX?0? ④ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；
⑤对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
b、关联度
1n??0??k?的关联度 R????k?称为X?0??k?与Xnk?13、简单的灰色预测——GM(1,1)预测
目前使用座广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。GM(1,1)模型是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测将是非常成功的。
3.1、GM(1,1)预测模型的基本原理
设x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),?,x(0)(n))为原始k数列，其1次累加生成数列为
x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),?,x(1)(n))，其中x(1)(k)??x(0)(i),k?1,2,?,n定义x(1)的灰导数为
i?1(1)d(k)?x(0)(k)?x(k)?x(1)(k?1)
令z(1)?(x(1)(2),x(1)(3),?,x(1)(n))为数列x(1)的邻值生成数列，即
z(1)(k)??x(1)(k)?(1??)x(1)(k?1)
于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为
d(k)?az(1)(k)?b
即 x 在式(1)中，x用量。
将时刻k?2,3,?,n代入(1)式有
(0)(0)(k)?az(1)(k)?b (1)
(k) 称为灰导数，a称为发展系数，z(1)(k)称为白化背景值，b称为灰作
6
?x(0)(2)?az(1)(2)?b?(0)(1)?x(3)?az(3)?b? (1)’
?????(0)(1)??x(n)?az(n)?b 引入矩阵向量记号：
??z(1)(2)?x(0)(2)??(1)?(0)?a??x(3)?, u???z(3), Y??B??b?????????(0)??(1)x(n)???????z(n)1??1? ???1?? 数据向量 参数向量 数据矩阵
于是GM(1,1)模型可表示为 Y?Bu.现在问题归结为求a,b的值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为
???a?????(BTB)?1BTY u??b?注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，matlab, excel都可以。 对于GM(1,1)的灰微分方程(1),如果将灰导数x(1)(0)(0)(1)(k)的时刻k?2,3,?,n视为连续变量t，则xdx(1)(t)(1)(1)视为时间t的函数x(t)，于是x(k)对应于导数，让背景值z(k)对应于导数x(t)。
dt于是GM(1,1)的灰微分方程对于的白微分方程为
dx(1)(t)?ax(1)(t)?b (2)
dt称之为GM(1,1)的白化型。 式子(2)以初值x(t?1)?x(1)(0)(1)的解为
bbx(1)(t)?(x(0)(1)?)e?a(t?1)?aa注：GM(1,1)的白化型(2)并不是由(1)直接推导出来的，仅仅是一种“借用”或“白化默认”。所以从GM(1,1)的白化型推导出来的结果，要在不与定义矛盾的情形下才成立。后面我们会看到，对数据列有要求。
令X(0)为GM(1,1)建模序列，
X(0)?(x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))
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