素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势，人们常常希望弄清在众多因素中，哪些是主要因素？哪些是次要因素？
如粮食生产系统，我们希望提高粮食总产量，而影响粮食总产量的因素是多方面的，有播种面积、水利、肥料、土壤、种子、劳力、气候、耕作技术和政策环境等。为了实现少投入多产出，并取得良好的经济效益、社会效益和生态效益，就必须进行系统分析。
传统方法：数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析、因子分析等的不足之处： a．要求有大量数据，数据量少就难以找出统计规律；
b．要求样本服从某个典型的概率分布，要求各因素数据与系统特征数据之间呈现线性关系且各因素之间彼此无关，这种要求往往难以满足；
c．计算量大，一般要靠计算机帮助；
d．可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，导致系统的关系和规律遭到歪曲和颠倒。 关联度分析法便是对付这种情况的一副良药，它的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。一般地，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。 4.2、灰色关联技术的应用
直接应用：因素分析、方案决策、优势分析；
与其他方法结合：灰色关联和聚类方法相结合、灰色关联分析和层次分析法相结合、优化方法、非线性模型与灰关联分析相结合；
应用新领域：应用于安全科学中, 如煤矿安全的分析与评估；应用于 环境科学中, 如水质评价、
大气环境质量评价等；应用于医学诊断中；应用于油田的开发中；应用于系统水文学中。
此外，在灰色关联技术的带动下，相继产生了灰色地质学、灰色育种学、灰色控制理论、灰色混沌理论、区域经济灰色系统分析、灰色价值学、灰色综防学等新兴学科。 4.3、灰色关联度计算式及改进
设一个母因素的时间序列和m子因素时间数列分别为
X0??x0(1),x0(2),...,x0(n)?,Xi??xi(1),xi(2),...,xi(n)?,i?1,2,...,m. 令?i(k)??min???max，则称?i(k)表示第t时刻子因素和母因素的关联系数，其中?称为分
????max辨系数，???0,1?，一般取??0.5.
??x0(k)?xi(k)， ?min?minminx0(k)?xi(k)， ?max?maxmaxx0(k)?xi(k).
则母因素和子因素的关联度Ri计算式?2?定义为
1n Ri???i(k) （10）
nk?1式（10）的关联度计算式存在如下问题：
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① Ri与分辨系数有关，Ri的值不唯一.
② 灰关联度不具有保序性.即Ri不是?的单调函数.对某个?0，可能Ri?Rj，而对另外一个
?，可能Ri?0?Rj.
③ 关联度不具有规范性.即对完全相关的子因素与母因素的时间序列，Ri?1.例如，
Xo?91,2,...,10),X1?(11,12,...,20),显然X0与X1完全相关，但是若取??0.5，则按上式算
R1?1.
3④ 灰关联分析不能体现负相关.由灰关联度计算式知Ri?0。然而，设有两个时间序列
X0?(1,2,...,20),X1?(20,19,...,1),显然有x1(t)?21?x0(t),t?1,2,...,20,负相关.
⑤ 通常分辨系数??0.5，则有灰关联度的值恒大于或等于
X与X1存在典型的
鉴于上述关联度计算式存在的问题，有必要提出改进的关联度计算式.文献?4?提出改进的关联度计算式，步骤如下：
a．作一次累减生成，即相当于所在曲线上不同时点的斜率.
1. 3a(1)(x0(k))?x0(k?1)?x0(k), a(1)(xi(k))?xi(k?1)?xi(k), k?1,2,...,n?1.
b．计算X0与Xi两时间数列的标准差，记
1n1n x0??x0(k) ， xi??xi(k)，
nk?1nk?11n1n22 ?xi?， . ????x(k)?x??x(k)?x??00xiiink?1nk?1即x0和xi分别表示两时间数列X0和Xi的均值，?x0，?xi分别表示两时间数列X0和Xi的标准差.
c．计算t时刻x0(k)，xi(k)的关联系数.
?(x0(t),xi(k))?sign(a(1)(x0(k))a(1)(xi(k)))1?其中
1a(x0(k))(1)?x?a(xi(k))(1),
0?xi?1,当x?0,? signx??0,当x?0,
??1,当x?0,?d．计算X0与Xi的灰关联度
1n?1~ Ri??(x0(k),xi(k)). (11) ?n?1k?1
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上述改进的灰关联度式（11）具有唯一性和规范性?4?，即
~~Ri?1且Ri?1当且仅当X0与Xi完全相关.
5、传染病的问题
据统计，高校传染病发病率情况如下，试建立GM(1,1)预测模型，并预测1993年的传染病发病率。另外传染病发病率较高的为痢疾、肝炎、疟疾，那么哪一种疾病更危害学生的健康呢？历来只有经验估计，如下统计表（表3），没有定量分析。 年度 1984 1985 85.62 44.19 8.29 33.14 1986 64.53 30.98 25.81 7.74 1987 86.63 45.86 38.22 2.55 1988 105.89 55.47 25.21 25.21 1989 83.55 60.34 18.57 4.64 1990 1991 1992 56.56 38.28 14.14 4.04 发病率 100.23 痢疾率 肝炎率 疟疾率 19.46 9.37 71.34 316.47 135.93 271.9 33.43 11.14 94.93 36.68 4.32 表3
5.1、传染病发病率的的预测
解：设X(0)(k)??100.23,85.62,64.53,86.63,105.89,83.55,316.47,135.93,56.56? 第1步 构造累加生成序列
X(1)(k)??100.23,185.85,250.38,337.01,442.9,526.45,842.92,978.85?
第2步 构造数据矩阵B和数据向量Yn
?1??2?1???2??1?2?1??B??2??1?2?1???2??1?2?1???2?x?x?x?x?x?x?x?x(1)(1)?x(1)(2)(2)?x(1)(3)?x(1)(4)?x(1)(5)?x(1)(6)?x(1)(7)?x(1)(8)?x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)?(3)?(4)?(5)?(6)?(7)?(8)?(9)??1??1????143.04?1???218.115????293.6951???389.955????1???484.675??684.685??1???910.885????1007.131????1??1?1??1??1? ?1?1?1??1?? 15
?x(0)(2)??85.62??(0)???64.53x(3)????(0)?x(4)??86.63??(0)???105.89x(5)? Yn??(0)????x(6)??83.55??(0)???316.47?x(7)???(0)?x(8)??135.93?????(0)??56.56???x(9)???第3步 计算a?????(BTB)?1BTYn
?a??b?.974132.18??2854081BTB???
4132.188???0.0000013890.00071767? (BTB)?1????0.000717670.49569446???0.066654? ??(BTB)?1BTYn??a??82.468986?
第4步 得出预测模型
dx(1)??0.0666544x(1)?82.4689865 dt?(1)(k?1)?1338x.729e0.0666544k?1237.2618
b(x(0)(1)?100.23;??1237.2618)
a第5步 残差检验
?(1)(k)，得 (1)根据预测公式，计算X
X(1)(k)??100.23,185.85,250.38,337.01,442.9,526.45,842.92,978.85?,k?0,1,...,9
?(0)(k)序列,k?1,2,...,9 (2)累减生成X
?(0)(k)??X100.23,92.19,98.54,105.33,112.59,120.36,128.65,137.52,147.0?
原始序列:X(0)(k)??100.23,85.62,64.53,86.63,105.89,83.55,316.47,135.93,56.56?
(3)计算绝对残差和相对残差序列
绝对残差序列：?(0)??0,?6.57,?34.01,?18.7,?6.7,?36.8,187.82,?1.59,?90.44?
? 相对残差序列：???0,?0.0767,?0.527,?0.216,?0.063,?0.441,0.593,?0.0117,?1.599第6步 进行关联度检验
(1) 计算序列x(0)与x?(0)的绝对残差序列?(k)
(0)?max??
min?(0)(k)?min?0,?6.57,?34.01,?18.7,?6.7,?36.8,187.82,?1.59,?90.44???90.44
(0)?(k)??max?0,?6.57,?34.01,?18.7,?6.7,?36.8,187.82,?1.59,?90.44??187.82
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?(0)??0,?6.57,?34.01,?18.7,?6.7,?36.8,187.82,?1.59,?90.44?
(2) 计算关联系数
由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。
?(k)?min??(k)???max??(k)?(k?1,...,9,??0.5) ?(k)??max??(k)?求得?(k)??0.037,0.04,0.058,0.046,0.04,0.061,0.0123,0.0376,1?
(3) 计算关联度
1nRi???i(k)?0.148
nk?1R?0.148不满足??0.5时的检验准则R?0.6的。
第7步 后验差检验 (1) 计算：
x?1?100.23?85.62?64.53?86.63?105.89?83.55?316.47?135.93?56.56??115.05 9(2) 计算X(0)序列的均方差：
??x(k)?xS1???n?1?1(3) 计算残差的均值：????(k)???0.778
9(0)?(0)2?????12?79.02
(4) 计算残差的均方差：
????(k)???S2???n?1?(5) 计算C：C?2????12?76.158
S2?0.964 S1(6) 计算小残差概率：S0?0.6745?S1?53.29
ek??(k)????0.78,5.8,33.23,17.9,5.9,36.03,188.6,0.81,89.7?
可得小残差概率为P?ei?S0??0.778，故P?0.7见表2（ 后验差检验判别参照表），因此模
?(k?1)?1338型x.729e第8步 预测：
(1)0.0666544k?1237.2618勉强合格。
k?10,x(0)(10)?x(1)(10)?x(1)(9)?157.13
即1993年的传染病发病率预测值为157.13。（详见附件matlab程序1、2、3） 5.2、三种传染病的关联分析 建模 步1：数据处理
x0(k)??100.23,85.62,...,56.56? x1(k)??19.46,44,19,...,38.28?
x2(k)??9.73,8.29,...,14.14?
x3(k)??71.34,33.14,...,4.04?
步2：计算关联度系数。经计算
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