OQFEPX04040103Y
上图还顺便显示了当P在一个圆上运动时，Q相应地在一个椭圆上运动。 在这个观点下，可将命题2推广到如下形式：
命题3 P是任意四边形ABCD对角线交点，G是对角线AC上任意一点，过G作CB，CD两边的平行线，分别交AB，AD于 E，F，连接PE，PF。再在BD上任取一点P′，作P′E′∥PE交AB于E′，作P′F′∥PF交AC于F′。然后过E′作E′G′∥EG，过F′作F′G′∥FG，两线交于G′。求证：P′，G′，C三点共线。
AE'EBPP'FF'DGG'04033109C
命题4 △DEF是已知△ABC的内接三角形，满足EF∥BC，在AD上取一点G，连接BG，CG。然后在底边BC上任取一点D′，作D′F′∥DF交AB于F′，作D′E′∥DE交AC于E′；再作F′G′∥BG，E′G′∥CG，两线交于G′。求证： G′，G，D′三点共线。
AG'F'FGEE'B04033110DD'C
注意：命题4比命题3更为本质。
有趣的是，今年初我和田廷彦曾探索过与命题4完全相同的图形的另外一个性质：设E′F′与EF的交点为K，则当D′在BC上运动时，D′K的连线恒经过定点P，它满足：△PBC∽△DEF。
【040401】在上述模式的仿射变换中，一般它具有两条不动直线（都经过不动点O），其方向即我们所关心的本质方向，凡平行于它的直线经变换后方向都不变。对应于每个这样的方向，所形成的线束之中心轨迹乃是通过O的一条直线，但其方向相对于角的两边而言似乎并不是既定方向的第四调和方向（原先是这样猜测的）。 OQ04040104Fl'ElPXY 上图中，点P在某条直线l上运动，其像Q的轨迹是另一条直线l′。拖动直线l，可以观察l′的方向与它的依赖关系。图中也同时画出了PQ连线的包络，当l和l′平行时它立刻退化为线束。下一步目标是确定这个构型的内在关联，（如角的大小以及四条射线的方向是如何控制该仿射变换的一些特征的呢？又如，当这些元素满足何种关系时，仿射变换退化为相似变换？）它导致对仿射变换的深入研究，而以前在这方面做得相当不够。
有一个疑问：本题的模式是不是代表了一般的仿射变换呢？在这一模式中，OX，OY两边对于整个变换来说是不是本质的呢？为了解决这一疑问，应转而研究最一般类型的仿射变换。 下图中所画的正是由三组对应点A→A′，B→B′，C→C′所确定的仿射变换，它所代表的才是最一般类型的仿射变换。图中同时画出了这一仿射变换的不动点O。
经探索才知道，在相当多的情况下，仿射变换未必存在不动直线；而一旦存在的话，一般说来就有两条。那么，不动直线存在与否如何来判定呢？这又涉及了一个很根本的问题。
在不存在不动直线的情况下，当P点沿直线l移动时，对应点联线的包络总是抛物线切线族。每条直线l对应着这样一个抛物线，其焦点和准线的变化遵循什么规律？不动点O何时成为该抛物线的焦点呢？直线l和抛物线之间的决定关系如何精确地描绘呢？这是下一步探索的核心问题。
上图还显示了当一条直线绕定点旋转时，这条直线与其对应直线的交点轨迹是一条经过定点以及不动点O的二次曲线。（可根据射影几何知识来说明交点轨迹确是二次曲线：先注意到仿射变换保持线束的交比不变，再根据二次曲线的射影定义。）于此有一个重要的猜想：
猜想 定点的位置不影响轨迹的形状。即当定点运动时，这条二次曲线只是位似地移动。
当直线平行移动时，交点的轨迹是一条经过不动点O的直线。它的方向是如何确定的呢？这还很有探索的余地。 OQA'PC'ABCB'04040108 而当直线是定圆的切线时，交点轨迹是下图所示的双孔形曲线，它与定圆两次相切。
OPQA'AC'BC04040107B' 值得注意的是仿射变换有一种典型的退化情形（普通的轴对称，以及蒋声《几何变换》中所提到的“双曲旋转”都属于这种情形）：一旦仿射变换存在两个不动点，那么这两个不动点的连线上的所有点都是不动点——即有无穷多个不动点，它们所共之线构成一条特殊的不动直线。与它平行的直线经变换后仍与之平行，因此这是一个本质的方向。
而这类变换的另一个重要特征是：所有对应点的连线方向始终恒定！它代表了该仿射变换的另一个本质的方向，而且，这个方向上的所有直线都是不动直线。因此这种类型的仿射变换具有无穷多条不动直线！
下图画的就是这种类型的仿射变换，水平的那条直线l即由全体不动点所组成的不动直线。其中∠AOB的大小以及点C在线段OB上的位置是用以控制变换的两个参量。图中还显示了这一变换如何将直线和圆变换为直线和椭圆。 AOCBPQl04040105 如果仿射变换存在三个不共线的不动点，则它必然是恒等变换——那就真正退化了。 【040402】果然，经过上午的探索，昨天提的问题有了重要进展，对仿射变换本质的把握更有了些眉目。
1999年6月28日，我与曹纲提出了仿射变换的“圆型集”的概念：
定义 设O是仿射变换不动点，P和Q是任意一组对应点，则△OPQ的形状变化是有规律的，总是局限在一个特定的集合内，我们把它称为该仿射变换的“圆型集”。 具体地说，将
△OPQ的相似形作到一条固定的线段MN上，即作△OPQ∽△LMN，则点L的轨迹必是一个圆。 这个圆的位置（相对于线段MN而言）对于该仿射变换来说是具有特征性的，它可用以刻划该仿射变换的属性，如用以区分不同的仿射变换，所以可称它为“特征圆”。 OLP04040202QMN 今天的探索就是围绕“圆型集”展开的。下图中O是由三组对应点A→A′，B→B′，C→C′所确定的仿射变换的不动点，P和Q是任意一组对应点。当P沿直线l运动时，相应地Q沿直线l′运动，设l和l′的交点为R。当直线l绕定点S旋转时，R点的轨迹是经过O，R两点的二次曲线（记为Ω）。图中同时还画出了该仿射变换的特征圆。 OQARSA'PC'CBB'M04040201N
猜想 Ω是椭圆、抛物线或双曲线的充要条件为：特征圆与直线MN相离、相切或相交。 与此同时，借助于这一猜想，可对仿射变换的属性作出明确的分类： 当特征圆与直线MN相离时，称该仿射变换为“椭圆性的”，它没有不动直线； 当特征圆与直线MN相切时，称该仿射变换为“抛物性的”，它恰有一条不动直线； 当特征圆与直线MN相交时，称该仿射变换为“双曲性的”，它有两条不动直线。 昨天还提出了直线PQ的包络所形成的抛物线，发觉不动点O总是在这一抛物线的内部，而且位置较靠近于顶点，所以我问它会不会成为该抛物线的焦点。今天这件事情也搞清楚了：它一般不会成为抛物线焦点，当且仅当仿射变换退化成相似变换时，它才成为焦点。这时，上述二次曲线Ω退化成圆，而且这也是充要的。即
命题 二次曲线Ω退化成圆，当且仅当仿射变换退化成相似变换（即特征圆退化成点）。 强有力的证据显示，二次曲线Ω的形状与特征圆的位置有密切联系，预计在它们之间存在着一个非常重要的内在关系，还有待于揭示。我猜想由特征圆的位置可完全确定二次曲线Ω的形状，而且连它的方向也被确定。换言之，能在位似的意义上确定二次曲线Ω。这就包罗了昨天提出的那条猜想（即上图中，当S点运动时，二次曲线Ω只是位似地移动）。
下图中，已将由直线l（图中用粗线画出）所确定的抛物线明确画出，也同时画出该抛物