线的焦点（图中标为Miquel）和准线（图中的红色细线）。 T1RNRO = 0.60ARMiquelOA'BCT2C'Q拖动P04040109B' 初步探索，即显现出令人振奋的现象：当l绕定点旋转时，焦点的轨迹是圆（经过不动点O）；与此同时，准线也绕定点旋转。其中一定有好戏！留着慢慢再探讨。 下午发现这样一个现象： 猜想 OR的连线被T1T2连线所分之比，是一个只与仿射变换有关的常数，而与直线l的选取无关。其中，O为不动点，R为l和l′的交点，T1，T2分别是l和l′与抛物线的切点。 关于圆型集，我和曹纲两人在1999年6月份作了较多的研究，引进了圆型集的“特征三角形”和“偏离率”这两个重要概念。
定义 设MN是固定线段，A是定圆O上的一个动点。那么△AMN的全体构成一个圆型集，以圆O为其特征圆。现作出圆O和直线MN所确定的共轴圆系的两个“极限点”L1和L2，由于直线MN就是该共轴圆系的根轴，因此L1，L2关于MN轴对称。我们把△L1MN（或△L2MN）称作该圆型集的“特征三角形”，并把AL1与AL2之比（是一个与A点在圆O上的具体位置无关的定值）称作该圆型集的“偏离率”。
注：当定圆O和直线MN相交时，这时所形成的是第二类共轴圆系，“极限点”不存在（是虚点）。因此这种类型的圆型集就没有（实的）“偏离率”。
AOL1MNL204040204
当时得到了一系列的结论，其中相对较为重要的有：
核心定理1 记特征三角形三边的长度MN，NL1，L1M为a0，b0，c0，则动态△AMN的三边长度a，b，c始终满足如下的关系式：
（－a02＋b02 ＋c02）a2＋（a02－b02 ＋c02）b2＋（a02＋b02 －c02）c2＝8?k???1?????， （*） k?其中△和△′分别表示△AMN和特征三角形△L1MN的面积。
显然，圆型集所满足的上述度量关系是对Pedoe不等式的一种有效加强。 也可将（*）式改写成如下形式：
a2 cot∠L＋b 2 cot∠M＋c2cot∠N＝常数。
核心定理2 当某个给定三角形在一倾角为θ的斜面上任意转动，则它在水平面上的投影形成一个圆型集，以给定三角形为特征三角形，其偏离率k等于倾角θ的一个简单函数（暂时忘记了，好像是tan??1?k1?k）。
这是对“等Brocard三角形”的一个相关结论的推广。当给定三角形取正三角形时，就得
到等Brocard三角形，其特征圆称作Neuberg圆，见《近代欧氏几何学》第17章。
核心定理3 在△ABC周围作三个形状给定的三角形：△DCB，△ECA，△FAB，并将它们的顶点连成一个新的三角形△DEF。那么当△ABC取圆型集时，△DEF也必取圆型集。
这是与拿破仑定理相关的这类问题的最强有力之推广（当偏离率为0时，即可得到完美六边形）。当时借此还对MacKay圆作了成功的推广，其细节有待回忆。
核心定理4 当动点在一个定圆上运动时，它对于给定三角形的垂足三角形，形成圆型集。 该圆型集的特征三角形可如下确定：取定圆和给定三角形的外接圆所共同确定的共轴圆系的极限点，它对于给定三角形的垂足三角形就是特征三角形。至于偏离率，可由定圆上的点到两个极限点的距离之比决定（共轴圆系中的圆相对于两个极限点而言，乃是Apollonius圆，因此圆上动点到两个极限点的距离之比是和点选取无关的定值），其表达式还有待进一步刻划。 下图中，两个极限点S1和S2是首先画定的，△ABC的外接圆是关于S1，S2两点的一个Apollonius圆，在该共轴圆系中再任取一圆，P是其上的动点，它关于△ABC的垂足三角形记作△DEF。动态的△DEF全体构成一个圆型集，其特征三角形用蓝色显示，它是S1关于△ABC的垂足三角形。图中两个小灰点是用来控制△ABC的外接圆和点P所在圆的大小的。
LAXMFEPNS2S1BDC04040300
核心定理4是对如下结论的本质推广：当动点沿着Schoute圆系中的某个圆运动时，它对于给定三角形的垂足三角形具有不变的Brocard角。这个结论也见于《近代欧氏几何学》第17章。注意：等Brocard三角形只不过是一种特殊的圆型集，它的特征三角形恰是正三角形，其特征圆称作Neuberg圆，是近代欧氏几何的一项经典内容。
注：Schoute圆系是由Brocard圆和外接圆所共同确定的共轴圆系，以Lemoine线为其根轴。它的连心线被称作Brocard轴，它上面有很多特殊点。Schoute圆系的两个极限点正是三角形的“等力点”（isodynamic point）。而原三角形的三个Apollonius圆都属于经过两个等力点的第二类共轴圆系，因此它们都与外接圆或Brocard圆相正交。
在偏离率的探讨方面，北京大学数学系黄利兵同学做了一些有益的工作。可惜毕业分配后他就“下落不明”，没法再与他联系。
核心定理5 当三个动点A，B，C分别在三个定圆上以相同的角速运动时，△ABC形成圆型集。
AA'BB'C'04040402C
核心定理6就是上面提到的与仿射变换有关的那个结论。惜乎当时对仿射变换未再深入研究下去。
下图在图04040109基础上画出了仿射变换所相应的圆型集的特征三角形LMN，并度量了偏离率，同时也度量了这个仿射变换始终恒定的面积比（即△ABC∶△A′B′C′），想观察它们与上面猜想中所说的OR连线被T1T2连线所分成的定比有什么关系，探索结果表明它们没有本质的联系。但却由此得到一个意外的收获：
猜想 仿射变换的面积比，等于与其相应的圆型集的特征三角形两邻边之平方比。
?L1M??ABC??即在图04040203中，成立：?。 ?A?B?C??L1N?T1RNRO = 0.392m L1X = 0.44m XL2L1X?面积 ?面积 m L1NA'B'C'?ABC? = 0.41MARMiquelNOL2 = 0.64m L1Mm L1N?m L1Mm L1Mm L1N = 0.41CA'T2C'B04040203B' 晚上突然意识到T1T2被OR所分之比会不会也是定值？一经验证，果然如此，而且也等于特征三角形两邻边的平方比！这样一来，上述猜想又多添了一项内容。
这也就是说，四边形OT1RT2是一个在仿射意义下形状确定的四边形（记其对角线交点为P）。它的形状对该仿射变换而言，又有什么具体意义呢？
对OP∶PR，又有一个想法：它会不会和特征三角形的顶角大小有关？果然，几何画板表明，当且仅当∠L＝90°时，O点落在T1T2连线上；∠L是锐角时，O和R一定分居T1T2的两侧；∠L是钝角时，O和R一定位居T1T2的同侧。但OP∶PR的值还并不单纯取决于∠L的大小，还有其它的未知因素影响着它，因此“革命尚未成功”，有待继续探索。
还注意到这样一个现象：
现象 若仿射变换是由三组对应点A→A′，B→B′，C→C′所确定的，那么 （1）当其中一个三角形，如△ABC作平移时，仿射变换的圆型集并不改变；
（2）当△ABC在平面上任意地作位似移动时，特征三角形的形状会改变，但顶角的大小并不变，而偏离率却仍不改变；
（3）当△ABC在平面上任意地作全等运动时，特征三角形两邻边之比不变（即顶点L形成Apollonius圆），这时偏离率有规律地变化，具体规律有待精确刻划——可注意到，这时特征圆的包络形成两个关于特征三角形的底边MN轴对称的圆。
上述三个现象实在是极为重要的，它已触及到仿射变换的本质，很值得重视。看来对仿射变换圆型集的认识还并不充分。
【040403】昨天与献血朋友外出吃午饭时，想到如下思考角度：
给定△ABC，在边AB，AC上取动点P，Q，满足AP∶PB＝CQ∶QA（P，Q不局限在线段内部，可以取在延长线上）。那么PQ连线的包络便形成一支抛物线，阿基米德早在两千多年前就用“穷竭法”求出了这一抛物弓形（落在三角形形内的部分）的面积占△ABC面积的2/3。抛物线的焦点M相对△ABC来说是第二Brocard三角形的一个顶点（与顶点A相应的那个）。事实上，M点是把线段BA变为线段AC之相似变换的不动点，即成立△MBA∽△MAC。
由于M点既落在BC边的类似中线上，而且它对于BC边的张角又等于2∠A，因此很容易用尺规来确定。（也可以用下面的办法来画出它：过点A作与直线BC相切于B点的圆Ω1，再过点A作与直线BC相切于C点的圆Ω2，两圆的第二个交点就是M。）
AM1PMB04040302M2QlC 现在考虑这条抛物线的准线（图中用粗线l显示）相对△ABC而言有什么地位？M关于两边AB，AC的轴对称点M1和M2显然位于这条准线上，因此它可由这两点来确定。l的方向必和BC边上的中线垂直，这也是早已熟知的结论。 经考察，l与底边BC的交点L落在Lemoine线上，即L满足：BL∶LC＝AB2∶AC2。 下图表示当∠A为定角时，直线的包络是一个椭圆，以底边BC为短轴，以外心O为一个焦点，其长轴等于外接圆直径。下图还显示l关于外接圆的极点X的轨迹是一个圆；而l关于△ABC的三线极线的轨迹则是一条复杂曲线。 XAOMBClY04040301 探索后还得到：假定l和两边AB，AC的交点为E，F，则从E，F作各自所在边的垂线EE′，FF′，则EE′和FF′也是抛物线的切线。与此同时，E′和F′的连线必经过M点，而且与AM垂直。这倒很有趣，因为它顺便给出如下作图问题的一个解法：
作图题 在△ABC的AB边上求作一点E，使得过E所作的AB边的垂线与AC边的交点E′满足：AE∶EB＝CE′∶E′A。
作法：过△ABC的第二Brocard三角形的顶点M作AM的垂线，与AC边相交，即可得