《通信原理》习题第一章
稳随机过程，且它们的自相关函数分别为Rx(?)、解：
Ry(?)。
因X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]?E[X]E[Y]
RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)
习题2.21若随机过程Z(t)?m(t)cos(w0t??)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关
?1??,?1???0?Rm(?)??1??,0???1?0,其它Rm(?)?函数为 ?是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼
此统计独立。
（1） 证明Z(t)是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数（3） 求功率谱密度
解：
（1）Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数；
E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]RZ(?)的波形；
PZ(w)及功率S 。
?[12?2??cos(wt??)d?]E[Z(t)]?000
RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)
只与
t2?t1??有关：
令
t2?t1??
E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}2?cosw0?*E[cos(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]1?cosw0?*E{[1?cos2(w0t1??)]}?02 ?12cos(w0?)
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《通信原理》习题第一章
所以
RZ(t1,t2)?12cos(w0?)*Rm(?)只与?有关，证毕。
（2）波形略；
?1?2(1??)cos(w0?),?1???0?1?1RZ(?)?cos(w0?)*Rm(?)??(1??)cos(w0?),0???12?20,其它???
PZ(w)?RZ(?)
而RZ(?)的波形为
可以对
''Rm(?)求两次导数，再利用付氏变换的性质求出
sin(w/2)w/2Rm(?)2的付氏变换。
Rm(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)??PZ(w)?14[Sa(2?Sa(w2)w?w02)?Sa(2w?w02)]
功率S：习题2.22
解：
S?RZ(0)?1/2
Rn(?)?a2exp(?a?)已知噪声n(t)的自相关函数
，a为常数： 求
Pn(w)和S；
因为 所以
exp(?a?)?2aw?a22
a222Rn(?)?a2exp(?a?)?Pn(w)?a2w?a
S?R(0)?
习题2.23?(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数
R(?)?1??。试求?(t)的功率谱密度
P?(w) 。
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《通信原理》习题第一章
解：见第2. 4 题
因为
?T(t)?R(?)?1???Sa(?n???2w2)
??(t?2n) 所以?(t)?R(?)*?T(t)
2据付氏变换的性质可得而
故
?T(t)?P?(w)?PR(w)F?(w)????(t?2n)???n????(w?n?)n???2P?(w)?PR(w)F?(w)?Sa(w2)*??n????(w?n?)?Sa(?w?n?2)*???n????(w?n?)
习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为wc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）
Po(w)?H(w)Pi(w)?2n02H(w)
G2B?(w)?BSa(B??)?因为又
w0G2w0(w)?Sa(w0?),故
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)
12?1由 付氏变换的性质 可得
Po(w)?n02H(w)?n02f1(t)f2(t?)F(w)*2F(w)
G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)
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《通信原理》习题第一章
（2）
E[?o(t)]?0；
R(0)?E[?0(t)]?Bn02；
R(?)?E[?o(t)]?02
所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
又因为输出噪声分布为高斯分布
f[?0(t)]?12?Bn0exp(?t2可得输出噪声分布函数为
2Bn0)
习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为n0/2的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
1H(w)?1jwC?1jwRC?1R?jwC
2(1)
PO(w)?Pi(w)H(w)?2an02*11?(wRC)
2(2) 因为
exp(?a?)?w?a22
?RO(?)?n0/2所以
po(w)?n02*1(wRC)?12n04RCexp(??RC
)习题2.26将均值为0，功率谱密度为
高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。
RR?jwL
2解：
H(w)? (1) (2)
?2
Po(w)?Pi(w)H(w)E[n0(t)]?0?n02*R222R?(wL)?RO(?)?n04Lexp(?R?L)
；
n0R4L?R(0)?R(?)?R(0)?
Tb习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取?1的概率相等。现假设任一间隔
，脉冲
Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无
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《通信原理》习题第一章
关，且过程具有宽平稳性，试证：
?0,??Tb?R?(t)????1??/Tb,??Tb自相关函数
（1）
（2） 功率谱密度
解： （1）
P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]2。
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
R?(?)①当②当
??Tb??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故
=0
时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在2Tb内，该波形取-1
1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。
（A） 波形取-1-1、11 时，
在图示的一个间隔
Tb内，
R?(?)?E[?(t)?(t??)]?14*1?1/4
（B） 波形取-1 1、1 -1 时，
在图示的一个间隔
??TbTbR?(?)?E[?(t)?(t??)]?14*(Tb??Tb??Tb)内，
14?2*
R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*当时，
??1Tb??(?)?1?4TbTbTb
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