朝阳二模
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x的一元二次方程x2?(4?m)x?1?m = 0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）此方程有一个根是?3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y?x2?(4?m)x?1?m
向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y?x?b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y? ax2?bx?4与x轴交于点A(?2，0)、
B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动 点．
yy
CADBACDBOxOx备用图 （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0o﹤α﹤90o），
当cosα=
25. 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得
∠EGB=∠EAB，连接AG.
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG； （2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0o﹤α﹤90o），请你直接写出线段EG、
AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间
的数量关系，并证明你的结论.
EAD EADEADG
GG3，且旋转后点P的对应点P'恰好落在x轴上时，求点P的坐标． 5FB数学试卷答案 第1页（共25页） FFC图1
B图2
CBC图3
21．解：（1）61.??????????????????????????????1分 AD （2）①如图， ????????????????2分
BC BD； ?????????????????????????????3分 (3)43 . ????????????????????????????5分 32五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. （1）证明：∵△=?4?m??4?1?m?.?????????????????? 1分 =m2?4m?12
=?m?2??8??????????????????????2分 ∴△＞0. ?????????????????????????3分
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）把x=-3代入原方程，解得m=1. ???????????????????4分 ∴y?x?3x.
223?9? 即y??x???.
2?4?3?9? 依题意，可知新的抛物线的解析式为y'??x???. ?????????5分
2?4?即y'?x?3x
∵抛物线y'与直线y?x?b只有一个公共点，
2∴x?3x?x?b..?????????????????????????6分
222即x2?4x?b?0. ∵△=0.
∴??4??4???b??0.
解得b= -4. ??????????????????????????7分
24. 解：（1）根据题意得
数学试卷答案 第2页（共25页）
2
b?4?，0?4a?2 ???????????????????????1分
36a?6b??4．0?1?a??，??3 解得?
4?b?．?3?14x?4.????????????2分
33（2）如图1，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.
所以抛物线的解析式为y??x2? 设P(x，y)，则CQ= x，PQ=4- y.
由题意可知CQ'= CQ= x，P'Q'=PQ=4- y，∠CQP =∠CQ'P'=90°. ∴?QCQ'??CQ'E??P'Q'F??CQ'E=90°.
∴?P'Q'F??QCQ'??.????????????????????3分 又∵cosα=∴EQ'?3， 5yCAEQPBx43，FQ'?(4?y). x 5543∴x?(4?y)?4. 55∵y??x2?134x?4， 3Q'OP'F1整理可得x2?4.
5∴x1?25，x2??25（舍去）. ∴P(25，85-8).????????????????????????5分 3如图2，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F. 设P(x，y)，则CQ=- x，PQ=4- y.
可得?P'Q'F??QCQ'??.????????????????????6分
3又∵cosα=，
543∴EQ'??x ，FQ'?(4?y).
5543∴?x?4?(4?y).
55P'Q'QEFAyCODBx∵y??x2?134x?4， 3P1整理可得x2?4.
5∴x1?25（舍去），x2??25. 数学试卷答案 第3页（共25页）
∴P(?25，-∴P(25，
85+8).???????????????????????7分 385-885+8). )或P(?25，-3325. 解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE. ????????????????????????1分 ∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
EAD ∴∠ABG=∠AEH.
H ∵又AB=AE，
GP ∴△ABG≌△AEH. ??????2分 F∴BG=EH，AG=AH.
CB∵∠GAH=∠EAB=60°， ∴△AGH是等边三角形. ∴AG=HG.
∴EG =AG+BG. ?????????????????????????3分
(2) EG?2AGsin?2?BG.??????????????????????5分
（3）EG?2AG?BG.???????????????????????6分
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE. H ∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.
∴∠ABG=∠AEH.
EAD∵又AB=AE，
G ∴△ABG≌△AEH. ??????7分
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=90°， F∴△AGH是等腰直角三角形. ∴2AG=HG.
∴EG?2AG?BG.??????????????????????8分
说明：各解答题其它正确解法请参照给分.
石景山22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩
形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．
BC （2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE 的取值范围： ．
A7（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；
2NBEDMC数学试卷答案 第4页（共25页）
解：
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．如图，抛物线y??x?ax?b过点A（-1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为
C, 反比例函数y?2k（x>0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D． x （1）求抛物线和反比例函数的解析式． （2）在线段DC上任取一点E，过点E作x轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，
联结DF、DG、FC、GC． y ①若△DFG的面积为4，求点G的坐标；
②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由； ③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．
解：
24．如图，四边形ABCD、A1B1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，
正方形A1B1C1D1可以绕中心O旋转,正方形ABCD静止不动．
（1）如图1，当D、D1、B1、B四点共线时，四边形DCC1D1的面积为 __；
O
x
CD1= _________； DD1（3）在正方形A1B1C1D1绕中心O旋转的过程中，直线CC1与直线DD1的位置关系是
（2）如图2，当D、D1、A1三点共线时，请直接写出
______________,请借助图3证明你的猜想．
解： A
DCDC1D1OCDC1CD1A1OC1B1B1D1OB1A1BA1BAAB图1
2图2 图3
25．（1）如图1，把抛物线y??x平移后得到抛物线C1，抛物线C1经过点A(?4,0)和原点O(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y??x交于点Q，则抛物线C1的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．
2数学试卷答案 第5页（共25页）