第一讲 平衡问题
一、特别提示[解平衡问题几种常见方法]
1、力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。
2、力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。
3、正交分解法：将各力分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件
(?Fx?0?Fy?0)多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对x、
y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。
4、矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。
5、对称法：利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点，会使解题过程简化。
6、正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。
7、相似三角形法：利用力的三角形和线段三角形相似。 二、典型例题
1、力学中的平衡：运动状态未发生改变，即a?0。表现：静止或匀速直线运动
（1）在重力、弹力、摩擦力作用下的平衡
例1 质量为m的物体置于动摩擦因数为?的水平面上，现对它施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小？
解析 取物体为研究对象，物体受到重力mg，地面的支持力N，摩擦力f及拉力T四个力作用，如图1-1所示。
由于物体在水平面上滑动，则f??N，将f和N合成，得到合力F，由图知F与f的夹角：
??arcctgf?arcctg? N不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角?不变，即F为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角??90?arcctg??arctg?时，使物体做匀速运动的拉力T最小。
（2）摩擦力在平衡问题中的表现
这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作用。在共点力平衡中，当物
体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力；当物体滑动时，属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。因此做这类题目时要注意两点
①由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。总之，包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。
②由于滑动摩擦力F=?FN，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。
例2 重力为G的物体A受到与竖直方向成?角的外力 F后，静止在竖直墙面上，如图1-2所示，试求墙对物体A的静摩擦力。
分析与解答 这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。首先确定研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。A受竖直向下的重力G，外力F，墙对A水平向右的支持力（弹力）N，以及还可能有静摩擦力f。这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。物
体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。（注意：这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。）具体到这个题目，在竖直方向物体A受重力G以及外力F的竖直分量，即
F2?Fcos?。当接触面光滑，G?Fcos?时，物体能保持静止；当G?Fcos?时，物
体A有向下运动的趋势，那么A应受到向上的静摩擦力；当G?Fcos?时，物体A则有向上运动的趋势，受到的静摩擦力的方向向下，因此应分三种情况说明。
从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此，讨论使物体维持某一状态所需的外力F的许可范围和大小是很重要的。何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。
（3）弹性力作用下的平衡问题
例3 如图1-3所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为r的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（L<2r）弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A。当小环静止时，略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹角?
分析 选取小环为研究对象，孤立它进行受力情况分析：小环受重力mg、大圆环沿半径方向的支持力N、弹簧对它的拉力F的作用，显然，
F?k(2rcos??L)
解法1 运用正交分解法。如图1-4所示，选取坐标系，以小环所在位置为坐标原点，过原点沿水平方向为x轴，沿竖直方向为y轴。
?Fx?0,?Fsin??Nsin2??0
?Fy?0,?Fcos??mg?Ncos2??0
解得 ??arccoskL
2(kr?mg)解法2 用相似比法。若物体在三个力F1、F2、F3作用下处于平衡状态，这三个力必组成首尾相连的三角形F1、F2、F3，题述中恰有三角形AOm与它相似，则必有对应边成比例。
FmgN??
2rcos?rr??arccoskL
2(kr?mg)（4）在电场、磁场中的平衡
例4 如图1-5所示，匀强电场方向向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m带电量为q的微粒以速度v与磁场垂直、与电场成45?角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E的大小，磁感强度B的大小。
解析 由于带电粒子所受洛仑兹力与v垂直，电场力方向与电场线平行，知粒子必须还受重力才能做匀速直线运动。假设粒子带负
电受电场力水平向左，则它受洛仑兹力f就应斜向右下与v垂直，这样粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，画出受力分析图根据合外力为零可得，
mg?qvBsin45? （1） qE?qvBcos45? （2）
由（1）式得B?2mg，由（1），（2）得E?mg/q qv（5）动态收尾平衡问题
例5 如图1-6所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间距离为l，导轨平面与水平面的夹角为?。在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为B。在导轨的A、C端连接一个阻值为R的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。求ab棒的最大速度。
（已知ab和导轨间的动摩擦因数为?，导轨和金属棒的电阻不计）
解析 本题的研究对象为ab棒，画出ab棒的平面受力图，如图1-7。
ab棒所受安培力F沿斜面向上，大小为F?BIl?B2l2v/R，则ab棒
下滑的加速度
a?[mgsin??(?mgcos??F)]/m。
ab棒由静止开始下滑，速度v不断增大，安培力F也增大，加速度a减小。当a=0时达到稳定状态，此后ab棒做匀速运动，速度达最大。
mgsin??(?mgcos??B2l2v/R)?0。
解得ab棒的最大速度
vm?mgR(sin???cos?)/B2l2。
例6 图1-8是磁流体发电机工作原理图。磁流体发电机由燃烧室（O）、发电通道（E）和偏转磁场（B）组成。在2500K以上的高温下，燃料与氧化剂在燃烧室混合、燃烧后，电离为正负离子（即等离子体），并以每秒几百米的高速喷入磁场，在洛仑兹力的作用下，正负离子分别向上、下极板偏转，两极板因
聚积正负电荷而产生静电场。这时等离子体同时受到方向相反的洛仑兹力（f）与电场力（F）的作用，当F=f时，离子匀速穿过磁场，两极板电势差达到最大值，即为电源的电动势。设两板间距为d，板间磁场的磁感强度为B，等离子体速度为v，负载电阻为R，电源内阻不计，通道截面是边长为d的正方形，试求：
（1）磁流体发电机的电动势?？ （2）发电通道两端的压强差?p？ 解析 根据两板电势差最大值的条件
f?F得v?E? ?BdB
所以，磁流发电机的电动势为??Bdv
设电源内阻不计，通道横截面边长等于d的正方形，且入口处压强为p1，出口处的压
(Bdv)2?强为p2；当开关S闭合后，发电机电功率为P 电?RR?2根据能量的转化和守恒定律有
222P?Fv?Fv?pdv?pdv 121电所以，通道两端压强差为
B2v?p?p1?p2?
R（6）共点的三力平衡的特征规律
例7 图1-9中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B
端是固定的，平衡时AD是水平的，BO与水平的夹角为?。AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：
A、F1?mgcos? B、F1?mgctg? C、F2?mgsin? D、F2?mg/sin?
解析 如图1-10，三根细绳在O点共点，取O点（结点）为研究对象，分析O点受力如图1-10。O点受到AO绳的拉力F1、BO绳的拉力F2以及重物对它的拉力T三个力的作用。
图1-10（a）选取合成法进行研究，将F1、F2合成，得到合力F，由平衡条件知：
F?T?mg
则：F1?Fctg??mgctg?
F2?F/sin??mg/sin?
图1-10（b）选取分解法进行研究，将F2分解成互相垂直的两个分力Fx、Fy，由平衡条件知：
Fy?T?mg,Fx?F1
则：F2?Fy/sin??mg/sin?
F1?Fx?Fyctg??mgctg?
问题：若BO绳的方向不变，则细线AO与BO绳的方向成几度角时，细线AO的拉力最小？
结论：共点的三力平衡时，若有一个力的大小和方向都不变，另一个力的方向不变，则第三个力一定存在着最小值。
（7）动中有静，静中有动问题
如图1-11所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上着一个质量为m的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的二分之一，则在小球下滑的过程中，
1mg。因为球加速下滑时，杆受向上的摩擦21力f根据第二定律有mg?f?ma，所以f?mg。对木箱进行受力
21分析有：重力Mg、地面支持力N、及球对杆向下的摩擦力f?mg。由平衡条件有
21N?f?mg?Mg?mg。
2木箱对地面的压力为Mg?2、电磁学中的平衡 （1）电桥平衡