例4 如图4-3所示，是用直流电动机提升重物的装置，重物质量m?50kg，电源电动势E?110V，内电阻r1?1?，电动机的内电阻r2?4?。阻力不计。当匀速提升重物时，电路中电流强度I?5A。取g?10m/s，试求：
（1）电源的总功率和输出功率； （2）重物上升的速度。
分析与解 电源输出的总能量，一部分消耗于自身内阻，其余全部输出传给电动机。电动机获得的电能，一部分转化为电动机的内能，其余的全部转化为机械能。
（1）电源的总功率为：P总?EI?110?5?550(W)
电源的输出功率为：P?UI?I(E?Ir1)?5(110?5?1)?525(W) （2）电动机的输入功率为：P入?525(W) 电动机的热功率：P热?Ir2?5?4?100(W)
电动机的输出功率等于它对重物做功的功率，即P入?P热?mgv 所以，v?222P入?P热mg?525?100?0.85m/s
500点评 本题中电源的总功率550W，就是每秒钟电源把其它形式的能转化为550J电能。电源的输出功率为525W，就是每秒钟输出电能525J，对整个电路来说，遵循能的转化和守恒定律。因此要学会从能量角度来处理电路中的问题。
例题5 如图4-4所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一根金属杆b，已知杆
3a的质量为m，b杆的质量为m水平导轨足够长，不计摩
4擦，求：
（1）a和b的最终速度分别是多大？
（2）整个过程中回路释放的电能是多少？
（3）若已知a、b杆的电阻之比Ra:Rb?3:4，其余电阻不计，整个过程中，a、b上产生的热量分别是多少？
分析与解 （1）a下滑h过程中机械能守恒：mgh?12 ① mv02a进入磁场后，回路中产生感应电流，a、b都受安培力作用，a作减速运动，b作加速运动，经一段时间，a、b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为零，安培力为零，二者匀速运动，匀速运动的速度即为a、b的最终速度，设为v，由过程中a、
b②
系统所受合外力为零，动量守恒得：mv0?(m?3m)v 4由①②解得最终速度v?472gh
（2）由能量守恒知，回路中产生的电能等于a、b系统机械能的损失，所以，
133E?mgh?(m?m)v2?mgh
247（3）回路中产生的热量Qa?Qb?E，在回路中产生电能的过程中，虽然电流不恒定，但由于Ra、Rb串联，通过a、b的电流总是相等的，所以有
QaQb?3，所以，4Qa?37E?949?mgh，Qb?412E?mgh。 749点评 本题以分析两杆的受力及运动为主要线索求解，关键注意：①明确“最终速度”
的意义及条件；②分析电路中的电流，安培力和金属棒的运动之间相互影响、相互制约的关系；③金属棒所受安培力是系统的外力，但系统合外力为零，动量守恒；④运用能的转化和守恒定律及焦耳定律分析求解。
例题6 云室处在磁感应强度为B的匀强磁场中，一静止的质量为M的原于核在云室中发生一次?衰变，?粒子的质量为m，电量为q，其运动轨迹在与磁场垂直的平面内，现测得?粒子运动的轨道半径R，试求在衰变过程中的质量亏损。
分析与解 该衰变放出的?粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其轨道半径R与运动
v2速度v的关系，由洛仑兹力和牛顿定律可得qvB?m ①
R由衰变过程动量守恒得（衰变过程亏损质量很小，可忽略不计）：
0?mv?(M?m)v? ②
又衰变过程中，能量守恒，则粒子和剩余核的动能都来自于亏损质量即
?mc2?121mv?(M?m)v?2 ③ 22M(qBR)22m(M?m)c2
联立①②③解得：?m?点评 动量守恒和能量守恒是自然界普遍适用的基本规律，无论是宏观领域还是微观
领域，我们都可以用上述观点来解决具体的问题。
第五讲 波动问题
一、特别提示
1、从受力和运动两个方面分析简谐运动的特点及简谐运动中能量转化。
2、灵活应用简谐运动模型——单摆、弹簧振子。
3、加深理解波是传递振动形式和波是能量传递的一种方式。 4、注意理解波的图象及波的形成过程。
5、注意横波中介质质点运动路程与波传播距离的区别。
6、波由一种介质传到另一介质中，波的频率不变，波速由介质决定与频率无关。 7、据质点运动方向能正确判断出简谐横波的传播方向。
8、应用v??f公式时应注意时间和空间的周期性。 9、波的干涉中，应注重理解加强和减弱的条件。 二、典型例题
例1 如图5-1，在质量为M的无底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M??m)的A、B两物体，箱子放在水平面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐振动，当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为：（ ）
A、Mg B、(M?m)g C、(M?m)g D、(M?2m)g
解 剪断A、B间细绳后，A与弹簧可看成一个竖直方向的弹簧振子模型，因此，在剪断瞬间A具有向上的大小为g的加速度，当A运动到最高点时具有向下的大小为g的加速度（简谐运动对称性），此时对A来说完全失重，从整体法考虑，箱对地面的作用力为Mg，选A。
评析 注意应用弹簧振子模型中运动的对称性，及超重、失重知识，注重物理过程的分析，利用理想化模型使复杂的物理过程更加简单。
例2 如图5-2，有一水平轨道AB，在B点处与半径R=160m的光滑弧形轨道BC相切，一质量为M=0.99kg的木块静止于B处，现有一颗质量为m?10kg的子弹以
v0?500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出，如图所
示，已知木块与该水平轨道的动摩擦因数??0.5，g?10m/s，试求子弹射入木块后，木块需经多长时间停止？(cos5??0.996)
解 子弹射入木块由动量守恒定律得子弹和木块的共同速度为
2v?mv0/(M?m)?5m/s
子弹和木块在光滑弧形轨道BC上的运动可看作简谐运动，T?2?R?8?s，gt1?T/2?4?s，子弹在水平轨道上作匀减速运动加速度a?f/(m?M)?5m/s2，t1?1s，t?t1?t2?(1?4?)s
评析 注意子弹击中木块过程中有机械能损失，子弹冲上圆弧及返回过程中，为一变速圆周运动，运动时间无其它办法求解，只能利用简谐运动中的单摆模型；所以建立和应用物理模型在物理学习中是至关重要的。
例3 如图5-3，一列横波沿x轴传播，波速v?6m/s。当位于x1?3cm处的A质点在x轴上方的最大位移处时，位于x2?6cm处的质点恰好在平衡位置，且振动方向沿y轴负方向，求这列波的频率f。
解 设波沿x轴正方向传播，当波长最长时，A、B之间的波形如图5-3a示，由波的周期性，有?x?3??n?，由v??f得f?50(4n?3)Hz，n?0,1,2,?；同理波沿x轴4负方向传播，当波长最长时，A、B之间的波形如图5-3b示，有f?50(4n?1)Hz，
n?0,1,2,?
评析 应注意A、B两点间水平距离与波长的关系考虑波长的空间周期性及波传播方向的双向性。
例4 某质点在坐标原点O处做简谐运动，其振幅是0.05m，振动周期为0.4s，振动在介质中沿x轴正方向直线传播，传播速度为1m/s，已知它在平衡位置O向上开始振动，振动0.2s后立即停止振动，则停止振动后经过0.2s时间的波是图5-4中的（ ）
解 由题意得，振动在介质中沿x轴正向直线传播，且开始振动时方向向上，由此可知介质中各质点的起振方向均向上，由于振动周期为0.4S，而振源振动0.2S后
立即停止振动，所以形成的是半个波长的脉冲，波形一定在x轴上方，振源停止振动后经过0.2S，波形沿x轴正方向平移半个波长即0.2m，波形不变，故选B。
评析 此题应注意的是O点起振时方向是向上的，振动传播至任何一点该点的起振方向均应向上，0.4S振动向外传播一个波长。应用简谐横波中介质质点振动方向与传播方向的关系，是解此类题的关键。
例5 振幅是2cm的一列简谐波，以12m/s的速度沿x轴正方向传播，在传播方向上有A、B两质点，A的平衡位置x1?4m，B的平衡位置x2?10m。已知A在最大位移处时，B正在平衡位置处向?y方向运动，试求这列波的频率的值。
解 当A在正向最大位移处时，AB间距离最少为有
AB=(n??3?，考虑波动空间的周期性，应433?)(n?0,1,2,?)，即有n???=6，根据v??f知：443f?v/??2(n?)Hz(n?0,1,2,?)；同理，当A在正向最大位移处时，AB间距离最少
4111为?，考虑波动空间的周期性，应有AB=(n???)(n?0,1,2,?)，即有n???=6，4441根据v??f知：f?v/??2(n?)Hz(n?0,1,2,?)；因此这列波的频率值为
431f?v/??2(n?)Hz或f?v/??2(n?)Hz(n?0,1,2,?)
44评析 应注意A、B两点水平距离与波长的关系考虑波长的空间周期性，另应注意A
点是在正向还是在负向最大位移处。
例6 如图5-5，表示两列同频率相干水波在t=0时刻的叠加情况，图中实线表示波谷，已知两列波的振幅均为2cm（且在图示范围内振幅不变）。波速为2m/s，波长为0.4m，E点是BD连线和AC连线的交点，下列说法正确的是（ ）
A、A、C两点是振动减弱点 B、E点是振动加强点
C、B、D两点在该时刻的竖直高度差4cm
D、t=0.05s时，E点离平衡位置的位移大小2cm
解 A、C两点均波峰与波谷叠加，使振动减弱，故A正确。E
点为AC与BD连线的交点，它到波峰CD及波谷BC距离相等，因两列波传播速率相等，故将同一时刻在E点叠加，故E点振动减弱，B错；B、D两点均为加强点其振幅均为4cm，故此时两点的高度差8cm，C错。波的周期T=0.2s，t=0.05s=T/4，t=0时，E点处于平衡位置，经T/4周期，其位移大小为4cm，故D错。应选A。
评析 此题重点考查波的干涉中加强与减弱的条件，即波峰与波峰相遇或波谷与波谷相遇是加强，波峰与波谷相遇是减弱，应切实抓住这一点。