故：v?2?d，???(cos2?)??v?，而光从液体到空气的临界角为C，所以
cos22?当2??C?45?时达到最大值vmax，即：
vmax?2?d?4?d 2cosC例7 如图3-18所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球简谐运动的最大加速度和最大速度大小各为多少？（g取10m/s2）
评析 这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目，本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率、能量的概念和规律等。由题意知，当单摆共振时频率f?0.5Hz，即：
f固?f?0.5Hzg4?2f2，振幅A=8cm=0.08m，由
T?1l?2?fg得：
l??10m?1m 224?3.14?0.5如图3-19所示，摆能达到的最大偏角?m?5?的情况下，共振时：
Fm?mgsin?m?mg?m?mgn??m，弦时，si?mA，（其中?m以弧度为单位，当?m很小l近似为弧长。）所以：
A
am?能
Fmg10根据单摆运动过程中机械?A??0.08m/s2 ?0.8m/s2。
mll守
恒
可
2?m得：
12mvm?mg(1?cos?m)2。其中：
A2g10(1?cos?m)?2sin?2(?m很小)?vm?A?0.08?m/s ?0.25m/s
2ll2l例8 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2?2GME/RE，其中G、
ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G=6.7×10-11N·m2/kg2，c=3.0×108m/s，
求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=2.0×1030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarhid半径）；（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？（最后结果保留两位有效数字）
解析 （1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度
v2?2GM/R，其中M、R为天体的质量和半径，对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于
2GM2?6.7?10?11?2.0?10303??3.0?10(m) 真空中的光速，即v2?c，所以：R?282c(3.0?10)即质量为2.0?10kg的黑洞的最大半径为3.0?10(m)
（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为m???V????R3，其中R为宇宙的半径，?为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为v2?303432GM/R，由于宇宙密度使得
3c2?4.0?1026m，其逃逸速度大于光速c。即：v2?c。则由以上三式可得：R?8??G合4.2×1010光年。即宇宙的半径至少为4.2×1010光年。
第四讲 动量和能量
一、特别提示
动量和能量的知识贯穿整个物理学，涉及到“力学、热学、电磁学、光学、原子物理学”等，从动量和能量的角度分析处理问题是研究物理问题的一条重要的途径，也是解决物理问题最重要的思维方法之一。
1、动量关系
动量关系包括动量定理和动量守恒定律。 （1）动量定理
凡涉及到速度和时间的物理问题都可利用动量定理加以解决，特别对于处理位移变化不明显的打击、碰撞类问题，更具有其他方法无可替代的作用。
（2）动量守恒定律
动量守恒定律是自然界中普通适用的规律，大到宇宙天体间的相互作用，小到微观粒子的相互作用，无不遵守动量守恒定律，它是解决爆炸、碰撞、反冲及较复杂的相互作用的物体系统类问题的基本规律。
动量守恒条件为：
①系统不受外力或所受合外力为零
②在某一方向上，系统不受外力或所受合外力为零，该方向上动量守恒。 ③系统内力远大于外力，动量近似守恒。
④在某一方向上，系统内力远大于外力，该方向上动量近似守恒。 应用动量守恒定律解题的一般步骤：
确定研究对象，选取研究过程；分析内力和外力的情况，判断是否符合守恒条件；选定正方向，确定初、末状态的动量，最后根据动量守恒定律列议程求解。
应用时，无需分析过程的细节，这是它的优点所在，定律的表述式是一个矢量式，应用时要特别注意方向。
2、能的转化和守恒定律
（1）能量守恒定律的具体表现形式
高中物理知识包括“力学、热学、电学、原子物理”五大部分内容，它们具有各自的独立性，但又有相互的联系性，其中能量守恒定律是贯穿于这五大部分的主线，只不过在不同的过程中，表现形式不同而已，如：
在力学中的机械能守恒定律：Ek1?Ep1?Ek2?Ep2 在热学中的热力学第一定律：?U?W?Q 在电学中的闭合电路欧姆定律：I?次定律。
在光学中的光电效应方程：
E??，法拉第电磁感应定律E?n，以及楞R?r?t12nwm?hv?W 22在原子物理中爱因斯坦的质能方程：E?mc
（2）利用能量守恒定律求解的物理问题具有的特点：
①题目所述的物理问题中，有能量由某种形式转化为另一种形式；
②题中参与转化的各种形式的能，每种形式的能如何转化或转移，根据能量守恒列出方程即总能量不变或减少的能等于增加的能。
二、典题例题
例题1 某商场安装了一台倾角为30°的自动扶梯，该扶梯在电压为380V的电动机带动下以0.4m/s的恒定速率向斜上方移动，电动机的最大输出功率为4.9kkw。不载人时测得电动机中的电流为5A，若载人时传颂梯的移动速度和不载人时相同，设人的平均质量为60kg，则这台自动扶梯可同时乘载的最多人数为多少？（g=10m/s2）。
分析与解 电动机的电压恒为380V，扶梯不载人时，电动机中的电流为5A，忽略掉电动机内阻的消耗，认为电动机的输入功率和输出功率相等，即可得到维持扶梯运转的功率为
P0?380V?5A?1900W 电动机的最大输出功率为 Pm?4.9kW 可用于输送顾客的功率为 ?P?Pm?P0?3kW
由于扶梯以恒定速率向斜上方移动，每一位顾客所受的力为重力mg和支持力FN，且FN=mg
电动机通过扶梯的支持力FN对顾客做功，对每一位顾客做功的功率为 P1=Fnvcosa=mgvcos(90°-30°)=120W
则，同时乘载的最多人数人n??P3000??25人 P1120点评 实际中的问题都是复杂的，受多方面的因素制约，解决这种问题，首先要突出实
际问题的主要因素，忽略次要因素，把复杂的实际问题抽象成简单的物理模型，建立合适的物理模型是解决实际问题的重点，也是难点。
解决物理问题的一个基本思想是过能量守恒计算。很多看似难以解决的问题，都可以通过能量这条纽带联系起来的，这是一种常用且非常重要的物理思想方法，运用这种方法不仅使解题过程得以简化，而且可以非常深刻地揭示问题的物理意义。
运用机械功率公式P=Fv要特别注意力的方向和速度方向之间的角度，v指的是力方向上的速度。本题在计算扶梯对每个顾客做功功率P时，P1=Fnvcosa=mgvcos(90°-30°)，不能忽略cosa，a角为支持力Fn与顾客速度的夹角。
例题2 如图4-1所示：摆球的质量为m，从偏离水平方向30°的位置由静释放，设绳子为理想轻绳，求小球运动到最低点A时绳子受到的拉力是多少？
分析与解 设悬线长为l，下球被释放后，先做自由落体运动，直到下落高度为h=2lsin?，处于松驰状态的细绳被拉直为止。这时，小球的速度竖直向下，大小为v?2gl。
当绳被拉直时，在绳的冲力作用下，速度v的法向分量vn减为零（由于绳为理想绳子，能在瞬间产生的极大拉力使球的法向速度减小为零，相应的动能转化为绳的内能）；小球以切向分量v1?vsin30?开始作变速圆周运动到最低点，在绳子拉直后的过程中机械能守恒，
有
112 m(vsin30?)2?mg(1?cos60?)?mvA22在最低点A，根据牛顿第二定律，有
v2F?mg?m
lv2?3.5mg 所以，绳的拉力F?mg?ml点评 绳子拉直瞬间，物体将损失机械能转化为绳的内能（类似碰撞），本题中很多同学会想当然地认为球初态机械能等于末态机械能，原因是没有分析绳拉直的短暂过程及发生的物理现象。力学问题中的“过程”、“状态”分析是非常重要的，不可粗心忽略。
例题3 如图4-2所示，两端足够长的敞口容器中，有两个可以自由移动的光滑活塞A和B，中间封有一定量的空气，现有一块粘泥C，以EK的动能沿水平方向飞撞到A并粘在一起，由于活塞的压缩，使密封气体的内能增加，高A、B、C质量相等，则密闭空气在绝热状态变化过程中，内能增加的最大值是多少？
分析与解 本题涉及碰撞、动量、能量三个主要物理知识点，
是一道综合性较强的问题，但如果总是的几个主要环节，问题将迎刃而解。
粘泥C飞撞到A并粘在一起的瞬间，可以认为二者组成的系统动量守恒，初速度为v0，末速度为v1，则有
mv0?2mv1 ①
在A、C一起向右运动的过程中，A、B间的气体被压缩，压强增大，所以活塞A将减速运动，而活塞B将从静止开始做加速运动。在两活塞的速度相等之前，A、B之间的气体体积越来越小，内能越来越大。A、B速度相等时内能最大，设此时速度为v2，此过程对A、B、C组成的系统，由动量守恒定律得（气体的质量不计）：
mv0?3mv2 ②
由能的转化和守恒定律可得：在气体压缩过程中，系统动能的减少量等于气体内能的增加量。所以有：
1212 ③ mv1?3mv2221121解①②③得：?E??mv0?EK
626?E?点评 若将本题的物理模型进行等效的代换：A和B换成光滑水平面上的两个物块，A、
B之间的气体变成一轻弹簧，求内能的最大增量变成求弹性势能的最大增量。对代换后的模型我们已很熟悉，其实二者是同一类型的题目。因此解题不要就题论题，要有一个归纳总结的过程，这样才能够举一反三。