2-21
用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对钉的阻力与钉进木板之深度成正比。在第一次锤击时，钉被击入木板1cm。假定每次锤击铁钉时速度相等，且锤与铁钉的碰撞为完全弹性碰撞，问第二次锤击时，钉被击木板多深？
解 据题意设木板对钉子的阻力为?kx，锤击铁时的速度为v，则由功能原理可知在第一次锤击时有
0.01l121mv??kxdx；在第二次锤击时有mv2??kxdx，联立这两个方程可得
00.0122第二次锤击时钉被击入的深度为l?0.01?4.14?10?3(m)。
2-22
如图2.13所示，两物体A和B的质量分别为mA?mB?0.05kg，物体B与桌面的滑动摩擦系数为?k?0.1，试分析用动能定理和牛顿第二运动定律求物体A自静止落下h?1m时的速度。
解 用牛顿第二运动定律求解。分析物体受力如图2.3所示，则 对物体A有：mAg?T?mAa 对物体B有：T??kmBg?mBa 解之得：a? 因为v?所以 v?1??kg 22v0?2ah,v0?0,
gh?1??k??9.8?1??1?0.1??2.97?m?s?1?
1?mA?mB?v2 2用动能定理求解。对于物体A,B构成的系统动能定理可写为 mAgh??kmBgh?所以
v?2?mA??kmB?gh2??0.05?0.1?0.05??9.8?1??2.97?m?s?1?
mA?mB0.05?0.05 11
2-23
一弹簧劲度系数为k，一段固定在A点，另一端连结一质量为m的物体，靠在光滑的半径为a的圆柱体表面上，弹簧原长AB，如图 所示，再变力的作用下物体极其缓慢的沿圆柱体表面从位置B移到了C，试分别用积分法和功能原理两种方法求力F所做的功。 解 利用积分法求解。
分析物体受力如图2.14所示，由于物体极其缓慢地沿光滑表面移动，所以有 F?mgcos??kx?mgcos??ka? 因此力F所做的功为 W???01Fds???mgcos??ka??d?a???mgasin??ka2?2
02?利用功能原理求解，力F所做的功为 W?EMC?EMB?mgasin??122ka? 22-24
如图所示，已知子弹的质量为m?0.02kg，木块的质量为M?8.98kg，弹簧的劲度系数
k?100N?m?1，子弹以初速v0射入木块后，弹簧被压缩了l?10cm。设木块与平面间的
滑动摩擦系数为?k?0.2，不计空气阻力，试求v0的大小。
解 设子弹与木块碰撞后共同前进的速度为v，因碰撞过程中动量守恒，所以有 mv0??m?M?v 在子弹与木块一同压缩弹簧时，由功能原理得 ??k?m?M?gl?121kl??m?M?v2 22联立以上两式可得子弹的初速度为
v0?12kl??k?m?M?gl?12?319(m?s) 21?m???2?m?M? 12
2-25
质量为M的物体静止于光滑的水平面上，并连接有一轻弹簧如图 所示，另一质量为M的物体以速度v0与弹簧相撞，问当弹簧压缩到最大时有百分之几的动能转化为势能， 解 当弹簧压缩到最大时系统以同一速度v前进，此过程中系统的动量守恒，所以有
1Mv0??M?M?v于是v?v0，故弹簧压缩到最大时动能转化为势能的百分率为
211?1?2Mv0??M?M??v0?22?2??50%
12Mv0222-26
如图 所示，一木块M静止于光滑的水平面上，一子弹m沿水平方向以速度v0射入木块内一段距离S?后停止于木块内。（1）试求在这一过程中子弹和木块的动能变化是多少？子弹和木块之间的摩擦力对子弹和木块各做了多少功？（2）证明子弹和木块的总机械能的增量等于一对摩擦力之一沿相对位移S?做的功。
解 （1）如图 所示。设子弹停止于木块内，二者一同前进的速度为V,因为子弹与木块碰撞的过程中动量守恒，所以有mv??m?M?V,解之可得V?因此在这一过程中子弹和木块的动能变化为
mv
m?M11?mv?12?M ?Ek?mv2??m?M????mv?22?m?M?2?m?M子弹和木块之间的摩擦力对子弹所做的功为
2?? ?22?1?mv?1212??mv?? ?f??S?S??m???mv?mv????1??0
2?m?M?22m?M??????子弹和木块之间的摩擦力对木块所做的功为
1?mv?1m?2? f?S?M??0?Mv????0 2?m?M?2m?M?? （2）子弹和木块的总机械能的增量为
22?1??1?mv?212?m?12?M?2??EM??Mv???0???m???mv???mv??
2?m?M??m?M?????2???2?m?M?2?22 13
而摩擦内力所做的总功为
W??f??S?S???f?S??f?S??正好等于一对摩擦力之一沿相对位移S?做的功。
12?Mmv?2?m?M?? ?2-27
证明：在光滑的台面上，一个光滑的小球撞击（撞击可认为是完全弹性碰撞）另一个静止的光滑小球后，两者总沿着互成直角的方向离开，设光滑的小球质量相等（除正碰外）。 证明 如图 所示，由于在光滑台面上光滑的小球间的碰撞为完全弹性碰撞，所以动能和动量守恒。
由动量守恒，得
mv0?mv1?mv2 （1） 由动能守恒，得
121212mv0?mv1?mv2 （2） 222（1）式两边平方，得
22 v0?v12?v2?2v1?v2 （3）
将（3）式与（2）式比较，得v1?v2?0，而v1和v2均不为零，所以有v1?v2。
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