Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）
课堂练习题
一、填空题
1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V，设u(x, y, z)在V上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有
???
(?u?u?ucos??cos??cos?)ds= 。 ?x?y?z2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V，则沿曲面Σ外侧的积分
???(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy= 。
3．设函数p(x,y,z)在空间闭区域V上有一阶连续偏导数，又Σ是V的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有??p(x,y,z)dydz 。
?
4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y轴的转动惯量Iy
= 。
5．围成空间闭区域V的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos?、cos?、cosγ，设P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在
V
上有连续二阶偏导数，则
???[(?y??z)cos??(?z??x)cos??(?x??y)cos?]ds 。
二、选择题
1．设?为球面x2?y2?z2?1，?1为其上半球面，则 式正确。 A．??zds?2??zds； B．??zdxdy?2??zdxdy；
??1??1?R?Q?P?R?Q?PC．??z2dxdy?2??z2dxdy； D．??zdxdy=0。
??1?
2．若?为z?2?(x2?y2)在xoy面上方部分的曲面，则??ds等于 。
?A．?2?0d??r01?4r2?rdr； B．?2?0d??201?4r2?rdr；
C．?
2?0d??201?4r2?rdr； D．2?。
3．若?为球面x2?y2?z2?R2的外侧，则??x2y2zdxdy等于 。
?A．??x2y2R2?x2?y2dxdy； B．2??x2y2R2?x2?y2dxdy；
DxyDxy4
C．0； D．?R3。
3
4．曲面积分??z2dxdy在数值上等于 。
?A．向量z2i穿过曲面?的流量； B．向量z2j穿过曲面?的流量； C．向量z2k穿过曲面?的流量； D．面密度为z2的曲面?的质量。
5．设?是球面x2?y2?z2?R2的外侧，Dxy是xoy面上的圆域x2?y2?R2，下述等式正确的是 。 A．??x2y2zds??Dxy??x22yR2?x2?y2dxdy；
B．??(x2?y2)dxdy??Dxy??(x2?y2)dxdy；
C．??zdxdy?2??R2?x2?y2dxdy；
?DxyD．??zdxdy??Dxy??zdxdy。
三、计算题 1．求
??z?2xdydz?x2ydzdx?y2zdxdy，Σ是z=x+y、x+y=1和坐标面在第一卦限所围立
2222
体V的边界外侧。
2．求
???2(1?x2)dydz?8xydzdy?4x(x?z)dxdy，Σ是旋转抛物面z=x+y 上介于0≤z≤4之
22
间部分的上侧。 3．求???dsx?y?z222，?是界于平面z=0及z=h之间的圆柱面x2?y2?R2。
4．求曲面z=x2+y2含在x2+y2=2x内的那部分面积。
5．求均匀曲面z?a2?x2?y2的重心的坐标
四、流体流速v?xyi?yzj?zxk，求由z=1、x=0、y=0和z2=x2+y2所围立体在第一卦限向
外流的流量。
五、设围成空间闭区域V的曲面Σ为x2?y2?z2?4z，函数u?u(x,y,z)在V上具有二阶
?2u?2u?2u?u连续偏导数，且?u?2?2?2?1，是u(x, y, z)在Σ上各点处沿外法线方向的
?n?x?y?z????方向导数，计算
????uds。 ?n
选做题
1．设Σ是柱面x2?y2?a2在0?z?h之间的部分，则??x2ds= 。
? 2．???xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z2)3z(x?2)2(y?1)2，?为曲面1??(z?0)的上侧。 ?5169
3．已知曲面2az=x2-y2上任意一点P(x, y, z)处的面密度为k|z| (a>0)，求曲面被柱面x2+y2=a2
截下的部分质量。
4．Σ是由xoy面上曲线x=ey (0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转曲面，曲面法向量与x轴正向夹角大于π/2，计算
???2(1?x2)dydz?8xydzdx?4zxdxdy。