第八章
习题8?1
１．求下列函数的定义域，并画出其示意图： (1)z?1?yxxa22xa22?yb22； (2)z?1ln(x?y)；
２
２
(3)z?arcsin； (4)z?x?yb22y－arccos（x?y）．
xa22解：（1）要使函数有意义，必须1?2??0即
?yb22?1，
??xy 则函数的定义域为?(x,y)|2?2?1?，如图8-1阴影所示.
ab??2
图8-1 图8-1
（2）要使函数有意义，必须???ln(x?y)?0x?y?0
即???x?y?1x?y，
则函数的定义域为{(x,y)|x?y且x?y?1},如图8-2所示为直线y?x的下方且除去
y?x?1的点的阴影部分（不包含直线y?x上的点）.
?yy??1?1??x?y?x?x?y??x???1? （3）要使函数有意义，必须?x,即?， 即?或?，xx?0x?0???x?0?x?0??所以函数的定义域为
{(x,y)|x?0且?x?y?x}?{(x,y)|x?0,x?y??x}，
如图8-3阴影所示.
1
图8-3 图8-4
?y?0?x?0x? （4）要使函数有意义，必须???y?0 即 ?y?0?2,
?x?y?|x2?y2|?1???x2?y2?1所以函数的定义域为
{(x,y)|x?0,y?0,x2?y,x2?y2?1},
如图8-4阴影所示.
２．设函数f(x,y)?x3?2xy?3y2，求 (1) f(?2,3); (2) f ?1?,2? (3)f(x?y,x?y). ?xy?； ?解：（1）f(?2,3)?(?2)3?2?(?2)?3?3?32?31;
32 （2）f?12??1?12?2?1412?,?xy?????x??2???3?xy??y???x3??xyy2;
（3）f(x?y,x?y)?(x?y)3?2(x?y)(x?y)?3(x?y)2 ?(x?y)3?2(x2?y2)?3(x?y)2. ３．设F(x,y)?y＋f（x－１），若当y?1时，F(x,1)?x，求f(x)及F(x,y)的表达式．解：由F(x,1)?x得x?y?f(x?1)
即 f(x?1)?x?1 令x?1?t则x?(1?t)2代入上式有
f(t)?(1?t)2?1?t(t?2)
所以 f(x)?x(x?2)
2
于是
F(x,y)? ?y?f(x?1)?y?(x?1)(x?1)
y?x?1４．指出下列集合A的内点、边界点和聚点：
(1)A?{(x,y)0?x?1,0?y?x}；(2)A?{(x,y)3x?y?1}； (3)A＝｛（x,y）｜x＋y＞０｝； (4)A?(0,2]． 解：（1）内点{(x,y)|0?x?1,0?y?x}
边界点{(x,y)|0?x?1,y?0}?{(x,y)|0?y?1,x?1} ?{(x,y)|y?x,0?x?1} 聚点A （2）内点? 边界点A 聚点A （3）内点A
边界点（0，0） 聚点A
（4）内点? 边界点[0,2] 聚点[0,2]
２
２
习题8?2
１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：
(1) z?
xy224x?y； (2) z?
x?yx?y．
44解：(1)当P(x,y)沿曲线x?ky趋于（0，0）时，有limf(x,y)?limy?0y?kx22ky24y?0ky?y?k1?k2 这个值随k的不同而不同，所以函数Z=xy224x?y在(0,0)处的极限不存在.
(2)当P(x,y)沿直线y?kx(k?1)趋于(0,0)时，有
x?kxx?kx1?k1?k (k?1)，这个极限值随k的不同而不同，所以函数
limf(x,y)?limy?0y?kxx?0? 3
Z=x?yx?y在(0,0)处的极限不存在.
２．求下列极限：
(1) limsinxyxxyxy?1?1x?0y?0； (2)lim1?xyx?y22；
x?0y?1(3)limx?0y?0； (4)limsinxyx?y22．
x??y??解：（1）limx?0y?0sinxyx1?xyx?yxy2?limy?x?0y?0sin(xy)xy?0
（2）limx?0y?12?1?0?10?122?1
（3）limx?0y?0?limx?0y?0xy((xy?1?1)xy?1?1)?lim(x?0y?0xy?1?1)?2
xy?1?1xy?1?1)(1x?y22 （4）当x??,y??时，是无穷小量，而sinxy是有界函数，所以它们的积
为无穷小量,即limx??y??sinxyx?y22?0.
３．求函数z?
yy22?2x?2x的间断点．
解:由于y?2x?0时函数无定义，故在抛物线y?2x处函数间断，函数的间断点是
{(x,y)|y222?2x,x?R}.
习题8?3
１．求下列各函数的偏导数：
(1) z?(１?x)y; (2) z?lntan
yxzyx；
(3) z?arctan
?z?x； (4) u?yx．
y?1解：（1）
?y(1?x)
4
?z?y?(1?x)yln(1?x);
（2）
?z?1?sec2y??ycotysec2y;?xtanyxx2??yx2xx
x
?z?1?sec2y?1?1cotysec2y;?ytanyxxxxx
x （3）
?z?1y?y?x2??1??y?x2?x2?y2;
??x??
?z?11?y2??x1??y?xx2?y2;
??x??z （4）
?u?zyz?x?yx?lny?x2??zlnx2?yx;
?uz?1?zyx;
?yx?uzx1lnyz
?y?lny???yx.?zxx２．已知f(x,y)?e?sinx(x?2y)，求fx?(0，1)，fy?(0，1)．
解：f?sinxx?(x,y)?e?(?cosx)(x?2y)?e?sinx?e?sinx[?cosx?(x?2y)?1] fy?(x,y)??esixn??2?2esxi
n所以f?sin0x?(0,1)?e(?cos0?(0?2?1)?1)??1 fy?(0,1?)?2sien0? 2３．设z?x?y?(y?1)arcsin3y，求
?zx?xx?1,?z1．
28y?1?yx?y?1解：
?z?x?df(x,1)x?1dx?ddx(x?1)?1
x?1y?122x?12 5