（3）Un?nsinπ2n,而limUn?limn??π2sin?π?n??π2?π?0，故级数n?sin发散. ?π2n2n?12n（4）Un?cosnπ2,而limU4k?limcos2kπ?1,limU4k?2?limcos(2k?1)π??1
k??k??k??k???故limUn不存在，所以级数?cosn??n?0?nπ2发散.
?3． 设?Un (Un＞0)加括号后收敛，证明?Un亦收敛．
n?1n?1???证：设?Un(Un?0)加括号后级数?An收敛，其和为S.考虑原级数?Un的部分和
n?1n?1n?1?Sn??Uk?1k，并注意到Uk?0(k?1,2,?)，故存在n0,使
n0k?Sn??Uk?1??t?1At?s
又显然Sn?Sn?1对一切n成立，于是，{Sn}是单调递增且有上界的数列，因此，极限limSnn???存在，即原级数?Un亦收敛.
n?1
习题9-2
1． 判定下列正项级数的收敛性：
?(1)
?n?1?1(n?1)(n?2)n?2n(n?2)?; (2)
?n?1?nn?11;
(3)
?n?1?; (4)
?n?1?；
n(n?5)12(5)
?n?111?an (a＞0); (6)
?n?1a?bn (a, b＞0);
(7)
??n?1??n2?a?n2?a (a＞0); (8)
???n?1?n?12nnn4?1；
(9)
?n?13nnn?2； (10)
?n?1n!;
31
?(11)
?n?1?3?5?7???(2n?1)4?7?10???(3n?1)?; (12)
?n?1n3n；
(13)
?n?1(n!)2n22n??； (14) ???;
n?1?2n?1???n?(15)
?n?12sinnπ3n; (16)
?n?1ncos2n2nπ3．
解：（1）因为敛.
1(n?1)(n?2)?1n2?而?n?11n2?收敛，由比较判别法知级数?n?11(n?1)(n?2)收
（2）因为limUn?limn??nn?1?1?0，故原级数发散.
n?? （3）因为
n?2n(n?1)?nn(n?1)?1n?1?，而?n?11n?1发散，由比较判别法知，级数
??n?1n?2n(n?1)发散.
?（4）因为1n(n?5)?2?1n?n2?13,而?n?11n(n?5)2是收敛的p级数(p??32?1),
n2由比较判别法知,级数?n?11n(n?5)2收敛.
1（5）因为lim1?an??1ann?limn??ann1?a?lim(1?n??11?an)
?1??1 ???2??0?a?1a?10?a?1?
而当a?1时，?n?1?1an收敛，故?n?1?11?an收敛;
当a?1时，?n?11an?=
?1发散，故?n?1n?111?an发散;
32
当0?a?1时lim10，故lim1发散;
n??1?an?1?n??1?an综上所述，当0?a?1时，级数lim1发散，当a?1时，lim1收敛.
n??1?ann??1?an1n （6）因为lima?bbn?lim(1?an??1?limn??a?bnn??a?bn)
bn?1b?1???1?b?1?a?1
??00?b?1??而当b?1时,
?11n收敛，故?收敛;
n?1bn?1a?bn?? 当b?1时，?11?n??1发散，故而由a?0, 0????n?1bn?1a?1,故?1n?1a?bn也发散;
? 当0?b?1时，lim1?1?0故n??a?bna?1发散;
n?1a?bn??综上所述知，当0?b?1时，级数?1发散;当b>1时，级数?1n收敛.
n?1a?bnn?1a?b2 （7）因为limn?a?n2?aann??1?lim2
n??n2?a?n2?an ?lim2a?a?0
n??1?an2?1?an2??而?1发散，故级数22n?1n?(n?a?n?a)(a?0)发散.
n?1n?14n4?3 （8）因为lim2n?11?limn1 n??n??2n4??12n3?而?1?收敛，故级数?n?1n?1n3n?12n2收敛.
?1 33
（9）因为limn??Un?1nUlimn??3n?1n?1(n?1)?2?n?23nn?limn??3n2(n?1)?32?1由达朗贝尔比值判别
?法知，级数?n?13nnn?2发散.
（10）因为limn??Un?1nU?limn??(n?1)n?1(n?1)!?n!nn?lim(1?n??1n)?e?1，由达朗贝尔比值判别
n?法知，级数?n?1nnn!发散.
（11）因为limUn?1nn??U?limn??3?5?7???(2n?1)?(2n?3)4?7?10???(3n?1)?(3n?4)?4?7?10???(3n?1)3?5?7???(2n?1)
?limn??2n?33n?4?23?1,
由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.
（12）因为limn??Un?1nUn?13n?11?limn?1??lim??1，由达朗贝尔比值判别法知，n??3n??n3n3n?级数?n?1n3n收敛.
（13）因为limn??Un?1nU?limn??[(n?1)!]2(n?1)22?2n2(n!)x?12?limn??(n?1)22n?12
由limx??(x?1)22x?12?limx???2(x?1)22x?1?2ln21?limx???22x?1?ln2
2 ?limx???22x?1?2(ln2)?2?0知limn??Un?1nU?limn??(n?1)22n?1?0?1
由达朗贝尔比值判别法知，级数?n?1(n!)2n22收敛.
（14）因为limn??nUn?limn??n2n?1?12??1，由柯西根值判别法知级数?n?1n?????2n?1?n收
敛.
2sinnπ3nsin?limn??π3nn（15）因为limn??2?π3nnπ3?1
34
?而?n?123nn2?π?2?仍收敛，????是收敛的等比级数，它的每项乘以常数?后新得级数?n3n?1n?1?3???n?n由比较判别法的极限形式知，级数?2sinn?1nπ3n收敛.
ncos2nπ3?n2n? （16）因为
2nπ3n而与（12）题类似地可证级数?n?1n2n收敛，由比较判别法
?ncos2n知级数?n?1收敛.
2． 试在(0，+∞)内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛：
?(1)
?n?1x?x?; (2) ?n3??． n?2?n?1n?n解：（1）因为limn??Un?1nU?limn??xn?1n?1x?nn?limn??nxn?1?x
由达朗贝尔比值判别法知，当x?1时，原级数发散;
当0?x?1时，原级数收敛;
?而当x?1时，原级数变为调?n?11n，它是发散的.
?综上所述，当0?x?1时，级数?n?1xnn收敛.
n?1 （2）因为limn??Un?1nU?limn??3?x?(n?1)????2?3?x?n????2?n?x2,由达朗贝尔比值判别法知，当
x2?1即
x?2时，原级数发散;
当0?x2x2?1即0?x?2时，原级收敛.
?3?而当
原级数变为?n，而由limn???知?n发散，综上所述，?1即 x?2时，
n?133n??n?1?3当0?x?2时，级数?n()收敛.
n?1xn2
35