又
?z?y?1?arcsinx3y?(y?1)1?13(xy)21?x????3?y??23??xy2
所以
?z?yx?18y?1?1?arcsin318?1?arcsin12?1?π6.
４．验证z?e?11???+??xy?满足x2?z?x1?y2?z?y?2z．
解：
?z?x?(1x?1y)?e???1x2?(1x?1y)?x2e
?z?y?(1x?1y)?e???1y2?1y1x22?e11(?)xy
所以x2?z?x?y2?z?y?x?2?(1x?1y)e?y?21y2?(1x?1y)e
?(?1x?1y) ?2e2?2z
?xy22,x?y?0?2５．设函数z??x?y4,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?
22?0,x?y?0?解：zy?(0,0)?lim zx?(0,0)?limf(0,0??y)?f(0,0)?y?lim?y?00?0?y?0
?y?0f(0??x,0)?f(0,0)?x?lim?x?00?0?x?0
?x?0所以函数在（0，0）处的偏导数存在且zx?(0,0)?zy?(0,0)?0.
1?22z?(x?y),?６．求曲线?在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角． 4?y?4?1?22(x?y)?z?z???解：因为 ，故曲线?在点（2，4，5）的切线斜率是4?x42?x?y?4??z2xx(2,4,5)?1,
所以切线与x轴正向所成的倾角??arctan1?π4.
6
７．求函数z?xy在(2,3)处，当Δx＝0.1与Δy?－0.2时的全增量Δz与全微分dz． 解：??z,?z?x?y?y?x
? dz??z?xdx??z?ydy
而?z?(x??x)(y??y)?xy?x?y?y?x??x?y 当?x?0.1,?y??0.2,x?2,y?3时，
dz?3?0.1?2?(?0.2)??0.1
?z?2?(?0.2)?3?0.1?0.1?(?0.2)??0.12. ８．求下列函数的全微分：
(1) 设u?(x)z，求du｜y(1,1,1)．(2) 设z?，求dz．
yx2?y2解：（1）?
?u?u?xz?x?z?(xz?1y)?1y,?y?z?(xy)z?1?y2;
?u?z?(xy)lnxy,
??u?u?x(1,1?,11),?y(?1,?1,11 ),?u??z?z(1,1,1)?0,于是du(1,1,1)?x(1,1,1)dx??z?y(1,1,1)dy??z?z(1,1,1)dz?dx?dy?y?2x22 （2）??z?2x?y?xx2?y2??xy(x2?y2)x2?y2
x2?y2?y?2y2x2?y22
?z?y?x2?y2?x(x2?y2)x2?y2
2? dz??zdx??zdy??xyd?xxd?x?y y(x2?y2)x2?y2x(?2y2)x?2y2
习题8?4
１．求下列各函数的全导数：
(1) z?e2x?3y, x?cost, y?t2; (2) z?tan(3t?2x2?y3), x?1，y?t．
t 7
解：（1）
dzzdxdt???xdt??zy?y?ddt
?e2x?3y?2?(?sint)?e2x?3y?3?2t =2e2x?3y(3t?sint)
?2e2cost?3t2(3t?sint) （2）
dz?ffdt??t???x?dxfdt???y?dydt
?sec2(3t?2x2?y3)?3?sec2(3t?2x2?y3)?4x?1
t2
?sec2(3t?2x2?y3)?3y2?12t3 ?(3?4t3?32t)sec2(3t?2t2?t2).
２．求下列各函数的偏导数：
(1) z?x2y?xy2, x?ucosv, y?usinv;
(2) z?euv, u?lnx2?y2, v?arctan
y．
x解：（1）
?zz?u???x??x?y?u??z?y??u
?(2xy?y2)cosv?(x2?2xy)sinv ?2u2sinvcos2v?u2sin2vcosv?u2sinvcos2v?2u2sin2vcosv
?3u2sinvcosv(cosv?sinv)
?z?z?xz?v??x??v???y??y?v
??(2xy?y2)usinv?(x2?2xy)ucosv ??2u3sin2vcosv?u3sin3v?u3cos3v?2u3sinvcos2v
??2u3sinvcosv(sinv?cosv)?u3(sin3v?cos3v) （2）
?z??z??u??z??v?veuv?1?2x?ueuv?1y?x?u?x?v?xx2?y22x2?y21?(y??2x2x)x2?y2?arctanyx ?euvln22(xv?yu)?ex?yx2xarctany?ylnx2?y2)?y2(x
8
?z??z??u??z??v?veuv1?2y?ueuv?1?1?y?u?y?v?yx2?y22x2?y21?(yx
x)2x2?y2?arctanyx ?euvln22(yv?xu)?ex?yx2arctany?xlnx2?y2)?y2(xx
３．求下列函数的一阶偏导数，其中f可微： (1) u?f (
xy,yz)； (2) z?f(x2?y2)； (3) u?f(x, xy, xyz)．
解：（1）
?u11?x?f1??y?f2??0?yf1?
?u?y?f1???x?y2?f2??1z?1zf2?xy2f1?
?u?f??0?f?y?z12???y?z2z2f2
（2）令u?x2?y2,则z?f(u)
?z?df??u?f?(u)?2x?2xf?(x2?y2)?xdu?x
?z?df??u?ydu?y?f?(u)?2y?2yf?(x2?y2)
（3）令t?x,v?xy,w?xyz,则u?f(t,v,w).
?u??f?dt??f??v??f??w?ff?x?tdx?v?x?w?x1??1?f2??y?3??yz?f1??yf2??yzf3??u??f?dt?y?tdy??f??v??f??w?v?y?w?y?f1??0?f2??x?f3??xz?xf2??xzf3?
?u??f?dt??f??v??f??w?f?0?f?xy?xyf?z?tdz?v?z?w?z1?2??0?f3?3?
４．设z?xy?x2Ｆ(u),u?
y，Ｆ（u）可导．证明：
xx?z?y?z?x?y?2z．
证：??z?y?2xF(u)?x2F?(u)??y?y?2xF(u)?yF?(u)?xx2
?z21?y?x?xF?(u)?x?x?xF?(u)
9
?x?z?x?y?z?y?xy?2xF(u)?xyF?(u)?xy?xyF?(u)
2 ?2[xy?xF(u)]?? z５．利用全微分形式不变性求全微分：
(1) z?(x2?y2)sin(2x?y)； (2) u?
yf(x?y?z)2222，f可微．
v解：（1）令u?x?y,v?sin(2x?y)，则z?u
22dz??z?udu??z?vdv?vuv?1d(x?y)?u?lnudsin(2x?y)
22v
?vuvv?1(2xdx?2ydy)?ulnu?cos(2x?y)d(2x?y)?2(xdx?ydy)?lnu?cos(2x?y)(2dx?dy)]?2sin(2x?y)?22(xdx?ydy)?cos(2x?y)ln(x?y)(2dx?dy)??22x?y???1f22v?u[vu?(x?y)22sin(2x?y)（2）du?1fdy?y?df?1f2dy?yf2f?(x?y?z)d(x?y?z)
222222?1fdy?yf?(x?y?z)f122(2xdx?2ydy?2zdz)222
?f(x?y?z)222dy?2yf?(x?y?z)f(x?y?z)2222
(xdx?ydy?zdz)６．求下列隐函数的导数：
(1) 设ex?y?xyz?ex，求z?x,z?y； (2)设
xzx?ln
zy，求
?z,?z．
?x?y解：（1）设F(x,y,z)?e Fx??e 故zx???x?yx?y?xyz?ex?0，则
?yz?e,Fy??ex?y?xz,Fz??xy
Fx?Fz?e?exx?y?yzxyxzyzzy,zy???FyFz??ex?y?xzxy
（2）设F(x,y,z)??ln?0,则
Fx??
1z,Fy?????zy2?1y,Fz???xz2?yz?1y??xz2?1z
10