dy?x2?y24．方程dx定义在矩形域R:?2?x?2,?2?y?2上，则经过点（0，0）的解
的存在区间是 _______ 。
5．函数组e,e,e的伏朗斯基行列式为 _______ 。
t?t2t?x(t)(i?1,2,?,n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方程的一个特解，6．若i则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
''?(t)?(t)x?A(t)xx7．若是的基解矩阵，则向量函数= _______是?A(t)x?f(t)的满
足初始条件
?(t0)?0的解；向量函数?(t)= _____
'?(t0)??的解。 x 是?A(t)x?f(t)的满足初始条件
v,v,?,vn，它们对应的特征值分别为
8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量12?1,?2,??n，那么矩阵?(t)= ______ 是常系数线性方程组x'?Ax的一个基解矩阵。
**(x,y)，称为驻定方程组。 9．满足 _______ 的点
二． 计算题 （60分）
2234xydx?2(xy?1)dy?0的通解。 10．求方程
dydy?edx?x?011．求方程dx的通解。
?dy??x2?y2?dx?y(?1)?0R:x?1?1,y?112．求初值问题? 的解的存在区间，并求第二次近似解，
给出在解的存在区间的误差估计。
''13．求方程x?9x?tsin3t的通解。
'x14．试求方程组?Ax?f(t)的解?(t).
?et???1??12??(0)???,A???,f(t)???143?????1?
dxdy?2x?7y?19,?x?2y?5dtdt15．试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定
性。
三．证明题 （10分）
'0 16．如果?(t)是x?Ax满足初始条件的解，那么
常微分方程期终考试试卷(6)
三． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1、 当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
?(t)???(t)??expA(t?t0)??
微分方程。
2、________________称为齐次方程。
dydx3、求
=f(x,y)满足
?(x0)?y0的解等价于求积分方程____________________的连续解。
dy?f(x,y)4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dx的解
y=
?(x,x0,y0)作为x,x0,y0的函数在它的存在范围内是__________。
x(t),x(t),...x(t)235、若1为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
//x?A(t)xx?A(t)x的一个基本解组。 6、方程组的_________________称之为/7、若?(t)是常系数线性方程组x?Ax的基解矩阵，则expAt =____________。
**x,y8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定
的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。
dyx?y?12x?y?3 dx1、求解方程：=
2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
dy31?dx2y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，3、讨论方程
0）的一切解 4、求解常系数线性方程：
x//?2x/?3x?e?tcost
?12?eAt,其中A为??43??/?? 5、试求方程组x?Ax的一个基解矩阵，并计算
dxdy?ax?by,?cydtdt6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且
ac?0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
?(t0)??的解，那么 试证：如果?（t）是x?Ax满足初始条件
/A(t?t0)?(t)?e?
??
常微分方程期终试卷(7) 一、选择题
1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分
dy??1?y2(,1)3. 方程dx过点2共有（ ）个解．
（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
dy?4．方程dx（ ）奇解．
（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
y?x?xdy?y5．方程dx的奇解是（ ）．
（A）y?x （B）y?1 （C）y??1 （D）y?0
二、计算题 1.xy=+y 2.tgydx-ctydy=0 3. (x?2y)dx?xdy?0
'x2?y2dyy??1x4. dx
ydx?(y3?lnx)dy?05.x
三、求下列方程的通解或通积分
dy?x(1?y2)1.dx
dyyy??()2xx 2. dxdy?3y?e2x3. dx y四．证明
1.设y1(x)，y2(x)是方程
y???p(x)y??q(x)y?0
的解，且满足
y1(x0)=y2(x0)=0，y1(x)?0，这里p(x),q(x)在(??,??)上连续，
x0?(??,??)．试证明：存在常数C使得y2(x)=Cy1(x)．
2．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，已知p(x)，q(x)在(??,??)上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．
常微分方程期终试卷(8)
一、 填空（每空3分） 1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2、函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果
。
2n3、若1为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件
是 。
4、形如 的方程称为欧拉方程。
x(t),x(t),?,x(t)5、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系： 。
6、若向量函数g(t;y)在域R上 ，则方程组
dy?g(t;y),?(t0;t0,y0)?y0dt的解?存在且惟一。
7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。 二、 求下列方程的解 1、
(y?3x2)dx?(4y?x)dy?0 （6分）
22222、 ydx?xdy?(x?y)dx （8分） 3、 y(y'?1)?(2?y') （8分）
dyy??exy4、 dxx （8分）
5、 x''?6x'?5x?e （6分）
2tx''?x?6、
1sin3t （8分）
x''?7、 三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）
12x' （8分）
dydx?2x?7y?19,?x?2y?5dtdt
常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.
xy=
'x2?y22+y
tgydx-ctydy=0
2 {y-x(x+y)}dx-xdy=0
2xylnydx+{x+y221?y2}dy=0
dyy2ydxx5. =6-x
y?22)'yx?y?16. =2
(
7. 已知f(x)
?x0f(t)dt=1,x?0,试求函数f(x)的一般表达式。
8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）
的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为
k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
二． 证明题(10%*2=20%)
1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。
12． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN?0,则(xM?yN)是该方程的一个积分因子。
My(xM?yN)?M(xMy?N?yNy)(xM?yN)2?Nx(xM?yN)?N(xMx?M?yNx)(xM?yN)2常
常微分方程期终试卷(9)
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
dy?ysinx?ex1．方程dx的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程y???4y?0的基本解组是 ．
3．向量函数组
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在区间I上线性相关的________________条件是在
区间I上它们的朗斯基行列式W(x)?0．
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们
的朗斯基行列式W(x)?0，x?I．
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解
dy?3y?e2x7. dx
3223(x?xy)dx?(xy?y)dy?0 8.
y?e?y??x?0 9．