10．求方程y???5y??sin5x的通解． 11．求下列方程组的通解．
?dx?x?y??dt??dy?4x?y? ?dt
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．
13．设?(x)在区间(??,??)上连续．试证明方程
dy??(x)siny dx 的所有解的存在区间必为(??,??)．
常
常微分方程期终试卷(10)
一、填空（30分）
dyydy?g()?P(x)y2?Q(x)y?R(x)x称为齐次方程，dx1、dx称为黎卡提方程。
dy?f(x,y)f(x,y)ydx2、如果在R上连续且关于满足利普希兹条件，则方程存在唯一的
x?x0?h?(x0)?y0，其中
解y??(x)，定义于区间上，连续且满足初始条件
b)M?maxf(x,y)(x,y)?RM，。
x(t)(i?1，2，……，n)是齐线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)3、若ih?min(a,'w满足一阶线性方程(t)?a1(t)w(t)?0。
MLk?1?k(x)??k?1(x)?(x?x0)kk!4、对逼卡逼近序列，。
'x?(t)?(t)5、若和都是?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系?(t)??(t)C。
?M?N??y?x??(x)M(x,y)dx?N(x,y)dy?0Nx6、方程有只含的积分因子的充要条件是。
?M?N??y?x??(y)y?M有只含的积分因子的充要条件是。
dyy2?1?2经过(0,0)点的解在存在区间是(??,??)。 7、方程dx二、 计算（60分）
1、 求解方程xdy?(y?xy)dx?0。 解：所给微分方程可写成
24(xdy?ydx)?xydx?0
24即有 d(xy)?xydx?0
24d(xy)1?2dx?044x上式两边同除以(xy)，得 (xy)
11??c13x3(xy)由此可得方程的通解为
23331?3xy?cxy (c??3c1) 即
?23y?p?2p2、 求解方程
解：所给方程是关于y可解的，两边对x求导，有
p?(2p?6p2)（1） 当p?0时，由所给微分方程得y?0； 因此，所给微分方程的通解为
dpdx
2dx?(2?6p)dpx?2p?3p?c。 （2） 当时，得
223x?2p?3p?cy?p?2p ， （p为参数）
而y?0是奇解。
'''t2t3、 求解方程x?4x?4x?e?e?1 2??2，
解：特征方程??4??4?0，1,2故有基本解组e，te，
'''t对于方程x?4x?4x?e，因为??1不是特征根，故有形如x1(t)?Ae的特解，
2t2t2tt'''2t将其代入x?4x?4x?e，得2Ae2t?e，解之得
A?12，
'''x(t)?A的特解，
对于方程x?4x?4x?1，因为??0不是特征根，故有形如31'''4，所以原方程的通解为 将其代入x?4x?4x?1，得
11x(t)?e2t(c1?c2t)?et?t2e2t?24
'4、 试求方程组x?Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中
A???21?A????12????
解：p(?)?det(?E?A)?0，?1?3，?2??3，均为单根，
????v1????(2?3)??v(?E?A)v?0??,??0 1111设对应的特征向量为，则由，得
?1??1????v1??v?2?2?3???2?3??，同理可得?1对应的特征向量为??， 取
3t?3t?(t)?ev?(t)?ev2，均为方程组的解，令?(t)?(?1(t),?2(t))， 1，2则1w(0)?det?(0)?又
11??3?02?32?3，
3t3t?e??(2?3)e?(t)所以即为所求基解矩阵????3t?(2?3)r?。
e?3t?dx?dt?x?y?1?dy??x?y?55、 求解方程组?dt的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。
?x?y?1?0?x?2??x?y?5?0解：令?，得?y??3，即奇点为（2，-3）
?dX?dt?X?Y?dY?X?x?2??X?Y?Y?y?3dt?令?，代入原方程组得， 11??1?1??2?0??2?2?0因为1?1，又由?1??1，
解得?1?2，?2??2为两个相异的实根， 所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。
dy?x?y26、 求方程dx经过（0，0）的第二次近似解。
?(x)?0， 解：0x?1(x)?0??f(x,0)dx?x20x12，
?2(x)?0??f(x,x2)dx?x2?0121215x20。
三、证明（10分）
假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组
'mt x?Ax?ce 有一解形如
mt?(t)?pe
p其中c，是常数向量。
mt?(t)?pe证：设方程有形如的解，则p是可以确定出来的。 mtmtmtmtpempe?Ape?ce事实上，将代入方程得，
因为emt?0，所以mp?Ape?c，
(mE?A)P?c （1）
又m不是矩阵A的特征值，det(mE?A)?0
所以(mE?A)存在，于是由（1）得p?(mE?A)c存在。
故方程有一解?(t)?(mE?A)ce?pe
常微分方程期终试卷(11)
一．填空 1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。 3．若?（x）为毕卡逼近序列
。
?1mtmt?1?1??n(x)??的极限，则有?（x）—?n(x)?
4．若i（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。
5．若i（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。
6．如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在 a?t?b上满足 时，方程组xˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t0）=?的解在a?t?b上存在唯一。 7．若?（t）和?（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩阵，则?（t）与?（t）具有关系：
。 8．若?（t）是常系数线性方程组x??的解
x(t)x(t)Ax的 基解矩阵,则该方程满足初始条件?(t0)??x*,y*?(t)=_____________________
9.满足 _________________________________________的点（），称为方程组的奇点。
10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。 二．计算题（60分）
3ydx?(x?y)dy?0 1．
dy3dy)?4xy?8y2?0dx2．dx
dy?x?y23．求方程dx经过（0，0）的第三次近似解
(
4．x???x?sint
?cos2t
??1??21?A???(t),?(0)????????14?试求方程组x??Ax的解??2?并求expAt 5．若
dxdy??x?y?1,?x?y?5dt6.求dt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三.证明题(10分)
设
的积分因子.
?ff(x,y)及?y连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x
常微分方程期终测试卷(12)
一、填空题（30%）
1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
dy?x2?y2 2．方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． dy?f(x,y)fy(x,y) 3．连续是保证方程dx初值唯一的 条件．
?一条积分曲线.
dY?A(x)Ydx 4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于
个，其中x?R，Y?R．
5．二阶线性齐次微分方程的两个解y??1(x),y??2(x)成为其基本解组的充要条件是 ．
ndy?sinx?cosy 6．方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． dy?x2tany 7．方程dx的所有常数解是 ．
8．方程xsinydx?ycosxdy?0所有常数解是 ． 9．线性齐次微分方程组的解组
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)为基本解组的 条
件是它们的朗斯基行列式W(x)?0．