10．n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．
二、计算题（40%）
求下列方程的通解或通积分：
dyyy??tanxx 1. dxdycosy?cosxsin2y?siny 2．dx
2(2xy?cosx)dx?(x?1)dy?0 3．
?dx?y??dt??dy?2x?y? 4．?dt ?dx?x?y??dt??dy??2x?3y? 5．?dt
三、证明题（30%）
1．试证明：对任意
x0及满足条件0?y0?1的y0，方程
dyy(y?1)?22dx1?x?y
的满足条件
y(x0)?y0的解y?y(x)在(??,??)上存在．
limf(x)?0dy?y?f(x)，求证：方程dx的任意
2．设f(x)在[0,??)上连续，且x???limy(x)?0y?y(x)x解均有???．
dy?x2f(y)(y?0)．3．设方程dx中，f(y)在(??,??)上连续可微，且yf(y)?0，求
证：该方程的任一满足初值条件
y(x0)?y0的解y(x)必在区间[x0,??)上存在．
常微分方程期终试卷(13)
一、填空题（30分）
1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是
?M?N??N?(x)?y?x（ ），有只含y的积分因子的充要条件是 ?M?N???M?(y)?x（ ?y ）。 dyf(x,y)dx??(x0)?y0的解等价于求积分方程（y=y0+x02、 求dx=f(x,y)满足）。
dy?x2?y23、 方程dx定义在矩形域R:-2?x?2,?2?y?2上，则经过点（0，0）的
11??x?4）即位存在区间是（4。
4、 若Xi(t)(I=1,2,?,n)是齐线性方程的 n个解，W(t)为伏朗斯基行列式，则W(t)
满足一阶线性方程（W?(t)+a1(t)W(t)=0）。
5、 若X1(t), X2(t) ,?Xn(t)为n阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要
条件是（W[X1(t), X2(t) ,?Xn(t)]?0）。
6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A（t）X+f(x),X(t0)=?的近似解时，则
tx）。
7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应
的奇点称为（稳定中心）。 8、 满足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（x,y）, 称为方程组的奇点。 9、 若
**?k(t)?(???[A(s)?k?1(s)?f(s)]dst0?(t)和?(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则 ?(t)和?(t)具有关系：（?(t)??(t)C(C为非奇异矩阵））。
nn?1dnyyn?1dndxn?1+??any?0)的方程称为欧拉方程。 10、 形如（xdx+a1x
二、计算题
求下列方程的通解（１－２）
y3xy?)dx?(x2?y2)dy?03１、（２xy+
2?M?N?2x?x2?y2,?2x?x解：因为?y
?M?N??N?x 又因为?y
所以方程有积分因子：u(x)= e
xe方程两边同乘以得：
xy3x22)dx?e(x?y)dy?02x(2xy?xy?3e
3yex(2xy?x2y)dx?exx2dy]?[exdx?exy2dy]?03［
3yexx2y?ex?c3也即方程的解为 ． dy33???x?y?3xy?0(y?)dx ２、
dy?y??p?tx解：令，dx，则
3tx?33321?t3 x?tx?3tx?0即
3t2p?tx?1?t3 从而
3t3t2y??()?()dt?c331?t1?t又
31?4t3?c322＝(1?t)
故原方程的通解为
3t?x??1?t3??331?4t?y??c32?2(1?t) ? t为参数
dy?x?y2３、求方程dx经过（０，０）的第三次近似解
??y0?0 解：0
x2?1??xdx?20xx
x4x2x5?2??(x?)dx??42200
x4x10x7?3??(x???)dx4400200x2x5x11x8???204400160 ＝2x
d2xdx?2?3x?2t?12dt４、求dt的通解
d2xdx?2?3x?022dt??2??3?0 dt解：齐线性方程的特征方程为
故齐线性方程的一个基本解组为e，e 因为?3t?t，
?0不是特征方程的特征根
所以原方有形如 将
x(t)＝B0t?B1的特解
x(t)＝B0t?B1代入原方程，比较t的同次幂系数得：
所以原方程的解为：
?3B0t?(?2Bt ?10?3B1)?2??3B0?213?B?B0??1?2B?3B?101?9 2，故有解之得：
31x(t)?c1e3t?c2e?t?(?t?)29
?2?11??12?1????1?12??的基解矩阵 ５、试求：??2?11??12?1????1?12??,又p(?)?det(?E?A)?(??1)(??2)(??3)?0 解：记A=???1，?2?2,?3?3均为单根 得1?v(?E?设1对应的特征向量为1，则由1A)V1?0得
?0??0?v1????,??0v1??1????????????1?? 取
?,?同理可得23对应的特征向量为：
?1??1?v2??1?,v3??0????????1???1??
t2t3t?(t)?ev,?(t)?ev,?(t)?ev3均为方程组的解 1223则1令?(t)?(?1(t),?2(t),?3(t))
011w(0)?det?(0)?110?0又所以
111
?(t)?(?1(t),?2(t),?3(t))即为所求。
d2xdx?3?2x?02dt６、试求dt的奇点类型及稳定性 dxdy?y??3y?2x解：令dt，则：dt
01??1?0?0?2?32??3 因为，又由得
?2?3??2?0解之得?1??1,?2??2为两相异实根，且均为负
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。
7. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
a?解：由物理知识得：
根据题意：
故：
F合m(其中a为质点的加速度，F合为质点受到的合外力)
F合?k1t?k2v
mdv?k1t?k2v(k2?0)dt
(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有
?kkdv?(2)v?1tmm即：dtkk(*)V?e2dt??m2dtk1?m(?t?edt?c)m
22ttk1mk1?e(t?em?2em?c)k2k2
mk12k2又当t=0时，V=0，故c=
?k2tmkk2tmk1?mkmV?2e?1(t?)k2k2 k2因此，此质点的速度与时间的关系为：
k