2013年高考解析分类汇编14：导数
一、选择题
1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文11））已知函数
f(x)?x3?ax2?bx?c，下列结论中错
误的是（ ） （A）?x0?R，f(x0)?0
（B）函数y?f(x)的图象是中心对称图形
（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减 （D）若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)?0 【答案】C 若c?0则有
f(0?)，所以A正确。由
f(x)?x3?ax2?bx?c得
f(x)?c?x3?ax2?bx，因为函数y?x3?ax2?bx的对称中心为（0,0），所以f(x)?x3?ax2?bx?c的对称中心为(0,c),所以B正确。
由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间（-∞, x0）单调递减是错误的，D正确。选C.
2
．（
2013
年
高
考
大
纲
卷
（
文
10
））
已知曲线
y?x4?ax2?1在点??1，a?2?处切线的斜率为8，a= （ ）
A．9
B．6 C．-9 D．-6
【答案】D
y??4x3?2ax，所以4?(?1)3?2a(?1)?8，所以a??6，故选D.
3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点,则实数a的取值范
围是 A．(??,0)
B．(0,12) C．(0,1) D．(0,??)
【答案】B
）（
本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。函数的定
义域为{xx?0}，导数为f'(x)?1?2ax?lnx，要使函数有两个极值点，则
f'(x)?1?2ax?lnx?0有两个根。由f'(x)?1?2ax?lnx?0得lnx?2ax?1，令y?lnx,y?2ax?1，当直线y?2ax?1与y?lnx相切是的斜率为k，则满足条件
0?2a?k。y'?1x，由y'?1x?2a，得切点横坐标x?12a。此时ln12a?2a?12a?1?0，解得112a?1，即a?2，所以此时切线斜率为k?2a?1，
所以0?2a?1，即0?a?12，选B.
4 ．（2013年高考福建卷（文））设函数
f(x)的定义域为R,x0(x0?0)是f(x)的极大值点,
以下结论一定正确的是 A．?x?R,f(x)?f(x0) B．?x0是f(?x)的极小值点 C．?x0是?f(x)的极小值点
D．?x0是?f(?x)的极小值点
【答案】D
本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A错误；因为?f(?x)和f(x)关于原点对称，故?x0是?f(?x)的极小值点，D正确．
5 ．（2013年高考安徽（文））已知函数
f(x)?x3?ax2?bx?c有两个极值点x1,x2,若
f(x1)?x1?x2,则关于x的方程3(f(x))2?2af(x)?b?0的不同实根个数为（ ）
A．3
B．4 C．5 D．6
【答案】A
6 ．（2013年高考浙江卷（文8））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数
y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是
）（
A B
【答案】B
C
D
由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B
二、填空题
7 ．（2013年高考广东卷（文））若曲线
y?ax2?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则
a?____________.
【答案】
1 211y'?2ax?,y'x?1?2a?1?0,a?x2。 本题考查切线方程、方程的思想.依题意所以
8 ．（2013年高考江西卷（文11））若曲线y?x??1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原
点,则α=_________.
【答案】2
本题考查导数的计算以及导数的几何意义。函数的导数为y'??x??1，所以在点（1，2）处的切线斜率为k??，则切线方程为y?2??(x?1)，因为切线过原点，所以
0?2??(0?1)，解得??2。
三、解答题
9 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x-3(a+1)x+6ax
3
2
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
【
答
案
】
解:(Ⅰ)当
,
所
a?1以
时,
f(x)?2x3?6x2?6x?f(2)?16?24?12?4f?(x)?6x2?12x?6?f?(2)?24?24?6?6,所以
y?f(x)在
(2,f(2))处的切线方程是:y?4?6(x?2)?6x?y?8?0;
(Ⅱ)
因
为
f?(x)?6x2?6(a?1)x?6a?6[x2?(a?1)x?a]?6(x?1)(x?a)
①当a?1时,x?(??,1]?[a,??)时,y?f(x)递增,x?(1,a)时,y?f(x)递减,所以当
x?[0,2|a|]增
,
时,且
时
2|a|?2,
,
x?[0,1]?[a,2|a|]递
减
,
所
时,以
最
y?f(x)小
值
递是
x?(1,a)y?f(x)f(a)?2a3?3(a?1)a2?6a2?3a2?a3;
②当
a??1时,且2|a|?2,在
x?[0,2|a|]时,x?(0,1)时,y?f(x)递
减,x?[1,2|a|]时,综上所述:当
y?f(x)递增,所以最小值是f(1)?3a?1;
a?1时,函数y?f(x)最小值是3a2?a3;当a??1时,函数
y?f(x)最小值是3a?1;
10．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/
平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000?元(?为圆周率).
(Ⅰ)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;zhangwlx
(Ⅱ)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx
【答案】
11．（2013年高考陕西卷（文））已知函数f(x)?ex,x?R.
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
12x?x?1有唯一公共点. 2f(b)?f(a)?a?b?(Ⅲ) 设a (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y?【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数 g(x)?lnx,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k=g'(1). 1?k?g'(1)?1.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 x12(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线y?x?x?1有唯一公共点,过程如下. 2g'(x)?