令h(x)?f(x)?121x?x?1?ex?x2?x?1,x?R,则 22h'(x)?ex?x?1,h'(x)的导数h''(x)?ex?1,且h(0)?0，h'(0)?0，,h''(0)?0 因
此
,
当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递减;当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递增?y?h'(x)?h'(0)?0,所以y?h(x)在R上单调递增，最多有一个零点x?0
所以,曲线y=f(x)与曲线y?(Ⅲ) 设
12x?x?1只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b) ??2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?(b?a?2)?eb(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa???e
2?(b?a)2?(b?a)令g(x)?x?2?(x?2)?ex,x?0,则g'(x)?1?(1?x?2)?ex?1?(x?1)?ex.
g'(x)的导函数g''(x)?(1?x?1)?ex?x?ex?0,所以g'(x)在（0，??）上单调递增,且g'(0)?0.因此g'(x)?0，g(x)在(0,??)上单调递增,而g(0)?0,
所以在(0,??)上g(x)?0.
?当x?0时，g(x)?x?2?(x?2)?ex?0且a?b,
(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa??e?0
2?(b?a)所以当a 2b?a 12．（2013年高考大纲卷（文））已知函数 f?x?=x3?3ax2?3x?1. (I)求a?2时，讨论f?x?的单调性;; . (II)若x?2,???时，f?x??0,求a的取值范围【答案】(Ⅰ)当a?-?2时,f?x?=x3-32x2?3x?1. f'(x)?3x2?62x?3. 令f'(x)?0,得,x1?2?1,x2?2?1. 当x?(??,2?1)时,f'(x)?0,f(x)在(??,2?1)是增函数; 当x?(2?1,2?1)时,f'(x)?0,f(x)在(2?1,2?1)是减函数; 当x?(2?1,??)时,f'(x)?0,f(x)在(2?1,??)是增函数; (Ⅱ)由f(2)?0得,a??当a??5. 45,x?(2,??)时, 451x?1)?3(x?)(x?2)?0, 22f'(x)?3(x2?2ax?1)?3(x2?所以f(x)在(2,??)是增函数,于是当x?[2,??)时,f(x)?f(2)?0. 综上,a的取值范围是[?5,??). 413．（2013年高考辽宁卷（文））(I)证明:当x??0,1?时，2x?sinx?x; 2x3?2?x?2?cosx?4对x??0,1?恒成立，求实数a的取值(II)若不等式ax?x?22范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 【答案】 记F（x）=sinx?22x,则F1(x)?cosx?. 221当x?(0,)时，F（x）＞0，F(x)在[0，]上试增函数；44??当x?（，1）时，F1(x)在[，1]上是减函数.44又F(0)=0,F(1)＞0，所以当x?[0,1]时，F(x)?0，即sinx???2x.2记H(x)?sinx?x,则当x?(0,1)时，H1(x)?cosx?1＜0，所以，H(x)在[0,1]上是减函数，sinx?x.综上，22x?sinx?x,x?[0,1] （II）解法一 因为当x?[0,1]时. 2x3ax?x?2?2(x?2)cosx?4 ?(a?2)x?x2?x3x2?4(x?2)sin22)x?x2?x3?(a?222?4(x?2)(4x)?(a?2)x.所以，当a??2时.不等式ax?x2?x22?2(x?2)cosx?4对x?[0,1]恒成立.下面证明，当a＞?2时，ax?x2?x3 不等式2?2(x?2)cosx?4对x?[0,1]不恒成立.因为当x?[0,1]时.ax?x2?x32?2(x?2)cosx?4?(a?2)x?x2?x3?4(x?2)sin2x22?(a?2)x?32x232??x[x?(a?2)].23a?21和中的较小值）满足32 所以存在x0?(0,1)(例如x0取2x03ax0?x0??2(x0?2)cosx0?4＞02即当a＞-2时，x3不等式ax+x??2(x?2)cosx?4?0对x?[0,1]不恒成立2综上，实数a的取值范围是（-?，-2].2 解法二 x3记f(x)?ax?x??2(x?2)cosx?4,则23x21f(x)?a?2x??2cosx?2(x?2)sinx.2记G(x)=f1(x),则2G(x)?2?3x?4sinx?2(x?2)cosx.1当x?(0,1)时，cosx＞，因此22G1(x)＜2?3x?4,x?(x?2)?(2?22)x＜0.21 于是f1(x)在[0,1]上试减函数，因此，当x∈(0,1)时，f1(x)＜f1(0)=a+2,故当a≤-2时，f1(x)<0，从而f(x)在[0,1]上试减函数，所以f(x)≤f(0)=0,即当a≤-2时，不等式 x3ax?x??2(x?2)cosx?4对x?[0,1]恒成立. 22下面证明，当a>-2时， x3?2(x?2)cosx?4对x?[0,1]不恒成立. 不等式ax?x?22由于f1(x)在[0,1]上试减函数，且1f（）1=a?f(0)-a+2>2, 7?2cos1?6sin1.271当a?6sin1?2cos1?时，f（）1?0，所以当x?(0,1)时，因此f(x)在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)2当-2 7111时，f（）>0，故存在x0?(0,1)使f（x0）=0，则当1<0，又f（0）210 所以，当a>-2时， x3不等式ax?x??2(x?2)?4对x?[0.1]不恒成立. 22综上，实数a的取值范围是（-?，-2]. ?x2?2x?a,x?014．（2013年高考四川卷（文））已知函数f(x)??,其中a是实数.设 lnx,x?0?A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1?x2. (Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2?0,证明:x2?x1?1; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)函数 f(x)的单调减区间为(??,?1),单调增区间为(?1,0),(0,??) (Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为f?(x1),点B处的切线斜率为f?(x2), 故当点A,B处的切线互相垂直时,有f?(x1)?f?(x2)??1, 当x<0时,f(x)?2x?2 因为x1?x2?0,所以 (2x1?2)?(2x2?2)??1,所以2x1?2?0,2x2?2?0, 因此x2?x1?[?(2x1?2)?(2x2?2)]??(2x1?2)?(2x2?2)?1, (当且仅当?(2x1?2)?2x2?2?1,即x1??1231且x2??时等号成立) 22所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时有x2?x1?1. (Ⅲ)当x1?x2?0或x2?x1?0时,f?(x1)?f?(x2),故x1?0?x2. 当x1?0时,f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为 y?(x1?2x1?a)?(2x1?2)?(x?x1) 即 y?(2x1?2)x?x1?a. 当x2?0时,f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 22