高三第二轮复习资料(数列)
数列（5课时）
一【本章知识结构】
等差数列的 性质
有等 差 数 列 正
关通项及 整数 列 的 概 念 前n项和 数应
等 比 数 列
用等比数列的 集
性质
二【高考要求】
1．了解数列有关概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.
2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题． 三【热点分析】
1．数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
2．有关数列题的命题趋势：
（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点；
（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强等差与等比数列综合的考查；
3．熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美 4．对客观题，应注意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列；
②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法
5．在数列的学习中加强能力训练 数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。
6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.
四【复习建议】
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1．对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和； 2．注意等差（比）数列性质的灵活运用；
3．掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法；
4．注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想； 5．注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用；
6．数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。
五【典型例题】
（一）等差与等比数列定义与性质
例1．数列{an}的前n项和Sn?n2?4n，则a1?a2???an= ． 【解】an?Sn?Sn?1?2n?5，
当n?3时，an?0，a1?a2???an??(a1???an)?4n?n2，
2当n?3时，Tn?a1?a2???an??a1?a2?a3???an?Sn?2S2?n?4n?8
例2．设?Sn?是等差数列?an?的前n项和，已知S6?36，Sn?270，Sn?6?144?n?6?，则n 等于（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【解】因为Sn?270，Sn?6?144，所以an?an?1???an?5?126，又因为S6?36，所以
a1?an?27，Sn?n(a1?an)?270， 解得：n?20． 2例3．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且整数的正整数n的个数是 （ ） A．2 B．3 C．4 【解】由
An7n?45a，则使得n为 ?Bnn?3bn D．5
aA14n?387n?19An7n?45a?得：n?2n?1 ?，要使n为整数，则需 ?2n?2n?1Bnn?3bnbnB2n?17n?1912?7?为整数，所以n?1,2,3,5、11，则有五种．
n?1n?1例4．无穷等差数列{an}的各项均为整数，首项为a1，公差为d，Sn是其前项和，3,15,21是其中的三项，给出下列命题：
（A）数列{an}一定是递增数列；
（B）对于任意满足条件的d，存在a1，使得75一定是数列{an}中的一项； （C）对于任意满足条件的d，存在a1，使得60一定是数列{an}中的一项； （D）存在满足条件的数列{an}，使得对任意的n?N，S2n?4Sn成立 【解】设3,15,21分别为数列{an}的第m,n,t项，则d?*am?an1812?，d?；
t?mm?nm?nd?6，所以公差d可能为?1；?2；?3；?6，所以A不正确；75?am?(s?m)d， t?n第 2 页 共 20 页
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7257?z成立，所以B正确；60?am?(s?m)d，s?m?不一定为整数，所以Cdd不正确；由S2n?4Sn得2na1?n(2n?1)d?4na1?2n(n?1)d?d?2a1成立，所以D正确
d为实数，例5.设a1，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6?15?0，
则d的取值范围是__________________ . 【解】因为S5S6?15?0，(5a1?10d)2?d2?8?0，则d的取值范围(??,?22)?(22,??) s?m?2【等于不等的转化】；另解：2a1?9a1d?10d2?1?0（确定主元a1）??0得
例6．已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1?b1?5，
，则数列{cn}的前n项和Sn? ． a1,b1?N*．设cn?abn（n?N*）
【解】设a1?1，b1?4，an?n，bn?n?3，则c1?ab1?a4?4，cn?bn?n?3
n(4?n?3)n(n?7)? 【特殊到一般的转化】
22例7．设1?a1?a2???a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
Sn?【解】1?a1?a2?a1q?a2?1?a1q2?a2?2?a1q3，?a2?q?a2?1,a2?1?q2?a2?2
q3?a2?2?3，而a2?1,a1?1,?a2,a2?1,a2?2的最小值分别为1、2、3 ?qmin?33。
1?2a,0?a?n?6?n2例8．数列Sn是满足an?1??，若a1?，则a2012的值为 ．
7?2a?1,1?a?1nn?2?5366【解】a2?，a3?，a4?，所以数列的周期为3， a2012?a2?．
7777n?1*【练习1】设数列{2}按“第n组有n个数(n?N)”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，
32），…，则第100组中的第一个数（ ）
A．24951
5051
5050B．24950
C．2D．2
4950【解】前99共有1?2?3???99?4950，第100组中的第一个数2．
【练习2】等比数列
1公比q??,用?n表示它的前n项之积?n?a1?a2?an， ?an?中，a1=512，
2?1,?2?中最大的是 ．
【解】an?(?1)n210?n，?9最大． 是 ．
【解】a2a4?2a3a5?a4a6?25得：a1q(q?1)?5，则a1?22【练习3】已知等比数列?an?中，an?1?an?0,且a2a4?2a3a5?a4a6?25,则a1的取值范围
55? （q?1） 222q(q?1)【练习4】若数列?an?(an?R)对任意的正整数m,n满足am?n?ama,n且a3?22,那么
a12? ．
12【解】令m?1，则an?1?ana1?a1?q，a3?a1q2?22?q3?22，a12?a?64
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【练习5】由1,3,5,?,2n?1,?构成数列{an}，数列?bn?满足b1?2,当n?2时数列{an}中第bn?1项等于数列?bn?的第n项，即bn?abn?1，则bn? . bn?1?2n?1，则bn?2n?1?1．
【练习6】一个数字生成器，生成规则如下：第一次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成数x生成两个数，一个为?x，另一个为x?3，设第n次生成的数的个数为an，则数列【解】因为bn?abn?1，所以bn?1?2(bn?1?1)?2bn?1?1，则bn?1?2(bn?1?1)
{an}的前n项和Sn等于 ，若x?1，前n次生成所有数中的个数为Tn，则Tn? ．
【解】an?2n?1，Sn?2n?1；T1?1，T2?3，不妨设第n次生成的数的最大值为An，最小值为Bn，当n?3时，An?1?An?3，Bn??An?Bn?3，于是每进行一次生成，所有数的取值区间增大6，又由生成数中不存在整除3的数，所有不同的数的个数为4，观察知当n?3时，
【归纳猜想】 Tn为公差为4的等差数列，所有Tn?4n?6．
（二）等差与等比数列综合
例1．数列{an}满足a1?1，an,an?1是方程x2?2nx?bn?0的两个根，则数列?bn?的前2n项和为S2n? ，{an}的前n项和Tn? ．
【解】an?an?1?2n，anan?1?bn，an?1?an?2?2n?2，得an?2?an?2，a2?1 a2k?a2?2(k?1)?2k?1，a2k?1?a1?2(k?1)?2k?1，an???n?1(n?2k)
?n(n?2k?1) b2n?a2na2n?1?4n2?1，b2n?1?a2n?1a2n?4n2?4n?1，b2n?1?b2n?a2n?1a2n?8n2?4n
S2n?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2n?1?b2n)? ?4n(n?1)(2n?1)?2n(n?1)
32n(n?1)(4n?1) 【并项求和】
3T2k?a1?a2?a3?a4???a2k?1?a2k?2[1?3???(2k?1)]?2k2
n2n2?12Tn?（n为偶数），T2k?1?T2k?a2k?2k?(2k?1)，Tn?（n为奇数）
22(n?0)?1b为不等于1的常数，例2．已知f(x)?bx?1是关于x的一次函数，且g(n)??
?f[(g(n?1)](n?1)*设an?g(n)?g(n?1)(n?N)，则数列?an?为（ ）
A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列
【解】a1?g(1)?g(0)?f[(g(0)]?g(0)?b?1?1?b，当n?2时，an?g(n)?g(n?1)
?f[g(n?1)]?f[g(n?2)]?b[g(n?1)?g(n?2)]?ban?1，所以?an?是等比数列．
例3．已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为27的等差数列?an?满足an???若f(a1)?f(a2)???f(a27)?0，则当k=___________时f(ak)?0.
????且公差d?0.，?，
22??第 4 页 共 20 页
高三第二轮复习资料(数列) 【解】函数f(x)?sinx?tanx在 (?因为a1?a27?a2?a26，)是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，22???2a14， f(a14)?0，所以当k?14时，f(ak)?0. ?? 例4．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b?R，满足f(a?b)?af(b)
f(2n)f(2n)???bf(a),f(2)?2,an?(n?N),bn?(n?N)考查下列结论： nn2①f(0)?f(1)； ②f(x)为偶函数； ③数列?an?为等比数列； ④?bn?为等差数列.
其中正确的是 ．
【解】f(0)?f(1)?0；设a??1,b?x，因为f(1)?f[(?1)?(?1))]??2f(?1)，
则f(?1)?0，所以f(?x)??f(x)?xf(?1)??f(x)为奇函数； f(2n)?2f(2n?1) ?2n?1f(2)?2f(2n?1f(2n)f(2n?1)f(2n)?n， ??1，则?bn?为等差数列； )?2?nnn?1222nf(2n)??2n则数列?an?为等比数列
nn?1x2?x?n,x?N*)，f(x) 的最小值为an，(x?R，例6．设函数f(x)?2且x?最大值为bn，2x?x?1记cn?(1?an)(1?bn)，则数列{cn} （ ）
A．是公差不为0的等差数列 C．是常数列
B．是公比不为1的等比数列
D．不是等差数列，也不是等比数列
x2?x?n?(y?1)x2?(y?1)x?y?n?0， 因为??(y?1)2 【解】由y?f(x)?2x?x?14n?6?4(y?1)(y?n)?0，则3y2?(4n?6)y?4n?1?0，所以得：an?bn?，
34n?14n?64n?14anbn????．，cn?(1?an)(1?bn)?1?【函数方程思想】
3333例7．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai?1的矩形面积（i?1,2,），则{An}为等
比数列的充要条件为（ ） A．{an}是等比数列。
,a2n?1,或a2,a4,,a2n,是等比数列。 C．a1,a3,,a2n?1,和a2,a4,,a2n,均是等比数列。 D．a1,a3,,a2n?1,和a2,a4,,a2n,均是等比数列，且公比相同。
Aa【解】n?1?n?2，得a1,a3,,a2n?1,和a2,a4,,a2n,均是等比数列，且公比相同
Anan例8．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数
符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 十进制 例如，用十六进制表示：E?D?1B，则A?B?（ ） A．6E B．72 C．5F D．B0 【解】A?B?110?16?6?14?6E．
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B．a1,a3,