高三第二轮复习资料(数列)
2222nbnbn?1b ?2b(?2??n?n?n?1??)
bb2b22?2nbn(2?2??2)?2n?2nbn?n?2n?1bn，
nn
nbn(b?2)bn?1?n?1?1. ?an?bn?2n2bn?1bn?1当b?2时,an?2?n?1?1.综上所述an?n?1?1.
22例6．数列{an}中，a1?t,a2?t2（t?0且t?1）．函数f(x)?an?1x3?3[(t?1)an?an?1]?1
(n?2)x?t是的一个极值点．
（1）证明数列{an?1?an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
1（2）记bn?2(1?)，当t?2时，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn?2008的n的最小值；
an（3）当t?2时，是否存在指数函数g(x)，使得对于任意的正整数n有
g(k)1 ??3k?1(ak?1)(ak?1?1)k成立？若存在，求出满足条件的一个g(x)；若不存在，请说明理由．
【解】（1）f'(x)?3an?1x2?3[(t?1)an?an?1](n?2)．由题意f?(t)?0，
即3an?1(t)2?3[(t?1)an?an?1](n?2)，∴an?1?an?t(an?an?1)(n?2)，
2∵t?0且t?1，∴数列{an?1?an}是以t?t为首项，t为公比的等比数列，
?an?1?an?(t2?t)tn?1?(t?1)?tn,?a2?a1?(t?1)t,a3?a2?(t?1)?t,2an?an?1?(t?1)tn?1
以上各式两边分别相加得an?a1?(t?1)(t?t2?…tn?1)，∴an?tn(n?2)（累加法求通项） 当n?1时，上式也成立，∴an?tn
2(2n?1)1?2? （2）当t?2时，bn? nn?12211112n ?Sn?2n?(1??2???n?1)?2n?12221?211?2n?2(1?n)?2n?2?2?n.
221?
由Sn?2008，得2n?2?2()?2008，n?()?1005， 当n?1004时,n?()?1005,当n?1005时,n?()?1500， 因此n的最小值为1005．
12n12n
12n12n
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高三第二轮复习资料(数列) （3）∵11111?k?(?)（裂项相消） (ak?1)(ak?1?1)(2?1)(2k?1?1)2k2k?12k?1?1g(k)11令g(k)?2k，则有：?k?k?1
(ak?1)(ak?1?1)2?12?1ng(k)11则?(k??(k?1?k?1)
?12?1k?1(a?1)(ak?1?1)k?12111111111?(?2)?(2?3)?…?(n?n?1)??n?1? 2?12?12?12?12?12?132?13n
即存在函数g(x)?2x满足条件．
例7．已知曲线C：y?x2(x?0)过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过B1作
y轴的平行线交曲线C于点A2，再过A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过B2作y轴的平行
线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n?N*)． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn?(8?2n)an，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：0?Tn?4． 【解】(1) 因为k1?y|x?1?2，所以过点A1(1,1)的切线l1：y?2x?1，则a1?21 222 设过点An(an,an)的切线为ln：y?an， ?2an(x?an)，即y?2anx?an1an， 2111n所以数列{an}是首项a1?，公比q?的等比数列；an?()
2228?2n4?n?n?1 （2）bn?(8?2n)an?2n2321?14?nTn?b1?b2?b3???bn???2?3???n?1（利用错位相减法求和） 122221321?13?n4?nTn??2?3?4???n?1?n 22222221?1?1?1?1?14?n?2?3?4???n?1?n 作差得：Tn?3?2222222?1?1?1?1?14?n??1??2?3?4???n?1?n?4
2222221?(1?()n)n?24?n2??n?4?2?n，
1221?2n?2 Tn?4?n?1?4，
2nn01n?1n 因为 2?(1?1)?Cn?Cn???Cn?Cn?2n?2，
令y?0，得an?1?第 12 页 共 20 页
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所以
n?2n?2??4，所以0?Tn?4
2n2n?1OPn?anOA?bnOB例8．已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn满足
?n?N?*
其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．
（1）求a1,b1的值； （2）点P1，P2，P3，…，Pn，…能否共线？证明你的结论；
（3）证明：对于给定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，…，…，P2，PPn，3，都在一个指数函数的图象上． 【解】（1）P1是线段AB的中点? 又
OP1?11OA?OB 22OP1?a1OA?b1OB，且OA,OB不共线， 1由平面向量基本定理，知：a1?b1?
2(2) 由OP(n?N*)?OPn?anOA?bnOBn?(an,bn) 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由于P1，P…，P…互不相同，所以d?0， 2，P3，n，q?1不会同时成立；
11x?(n?N*)，P1，P2，P若d?0，则an?a1?，…，，…都在直线上； P3n 2211
y?若q?1，则bn?为常数列 ，P1，P，，…，，…都在直线上； PP23n22
若d?0且q?1，P1，P2，P3，…，Pn，…共线
,n?N*） ?Pn?1Pn?(an?an?1,bn?bn?1)与PnPn?1?(an?1?an,bn?1?bn)共线（n?1?(an?an?1)(bn?1?bn)?(an?1?an)(bn?bn?1)?0
?d(bn?1?bn)?d(bn?bn?1)?0?(bn?1?bn)?(bn?bn?1)?q?1与q?1矛盾， ∴当d?0且q?1时，P1，P2，P3，…，Pn，…不共线。
?(n?1)d1n?12?a（3）设Pn(an,bn)都在指数函数y?a(a?0,a?1)的图像上，则bn?a?q 2111令n?1，则?a2?a?，
24111n?112?(n?1)d于是，q?()?q有唯一解q?()d，
424由于d?0，?q?1，从而满足条件“P1，P。 2，P3，…，Pn，…互不相同”
1xan∴当对于给定的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在指数函数y?()的图象上.
【练习1】已知数列{an}是等比数列，其中a3?1，且a4，a5?1，a6成等差数列，数列{前n项和Sn?(n?1)2n?214xan}的bn?1．
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（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，若T3n?Tn?t对一切正整数n都成立，求实数t的取值范围． 【解】(Ⅰ)设{an}的公比为q,因为a3?1，所以a4?q,a5?q2,a6?q3, ∵a4，a5?1，a6成等差数列, ∴2(q2?1)?q?q3,解得q?2, ∴ an?a3qn?3?2n?3.
a11?S1?1, ∴b1?a1?.
4b1ana1n?3? 当n?2时,n?Sn?Sn?1?n?2, ∴bn?. n?3nn?2bn当n?1时,
?1,n?1,??4 综上, bn?? （注意首项的验证）
?1,n?2.??n11111111??????(??????) (Ⅱ)记An?T3n?Tn????????42nn?13n42n111??????. ?n?1n?23n11111111??????????(?????) 则An?1?An?n?2n?33n3n?13n?23n?3n?13n1111??? ? 3n?13n?23n?3n?1112???0.（利用比较法证证明单调性） ?3n?13n?23n?3 ∴ An?1?An.
11115 ∴ {An}中的最小项是A1?T3?T1?????.
423465 ∵T3n?Tn?t对一切正整数n都成立, ∴ t?.
6
【练习2】已知点Pn(an,bn)(n?N*)都在直线l：y?2x?2上，P为直线l与x轴的交点，数列1{an}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若f(n)???an，n为奇数，?bn，n为偶数，在，求出k的值，若不存在，说明理由。
1112????? （Ⅲ）求证： (n?2)．
|p1p2|2|p1p3|2|p1pn|25*【解】（1），因为点Pn(an,bn)(n?N)都在直线l：y?2x?2上
问是否存在k?N，使得f(k?5)?2f(k)?5成立？若存
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所以bn?2an?2
又因为P1(?1,0)，所以a1??1，bn?0，
所以an??1?(n?1)?n?2，bn?2an?2?2n?2
，f(k?5)?2f(k)?5
2n?2，n为偶数?当k为偶数时，k?5为奇数，所以k?5?2?2(2k?2)?5，得k?4 当k为奇数时，k?5为偶数，所以2(k?5)?2?2(k?2)?5不成立， 综上，存在唯一的k?4符合条件
2222 （3）P1(?1,0)，Pn(n?2,2n?2)，|PnP |?(n?1)?(2n?2)?5(n?1)1（2）f(n)???n?2,n为奇数 则
1111111????(?)(n?3)
|PnP1|25(n?1)25(n?1)(n?2)5n?2n?11111111111??????(1???????) 22255223n?2n?1|p1p2||p1p3||p1pn|1112???? 555(n?1)5
【练习3】设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn． （1）若a11?0，S14?98,求数列{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下求Sn的表达式并求出Sn取最大值时n的值； （3）若a1?6，a11?0，S14?77，求所有可能的数列{an}的通项公式． 【解】（1）由a11?0,S14?98得 ??a1?10d?0?a1?20解得：?
14a?9d1?98?d??2?1
?an?a1??n?1?d?22?2n
（2）?Sn
令an?0得n?11
a1?an?n???21n?n2（等差数列前
2
n项的和Sn是一个没有常数项的二次函数）
?当n?11时，Sn取得最大值
(1)?a1?6?（3）由a1?6，a11?0，S14?77得： ?a1?10d?0 (2)
?14a?91d?77(3)?1(2)?(?14)得：?14a1?140d?0--------------------------（4） (1)?(?14)得：?14a1??84----------------------------------（5）
117(3)?(4)得：d??； (5)?(3)得：d??
791d?Z,?d??1
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