高三第二轮复习资料(数列)
【练习1】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。
【解】设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为
l?2[(i?1)?(i?2)??2?1?1?2??(19?i)?(20?i)]?10
?(i2?21i?210)?20?[(i?
212399)?]?20即i?10或11时lmin?2000. 24x2y2【练习2】椭圆椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是??1上有n个不同的点P1,P2,?,Pn，
431公差大于的等差数列，则n的最大值是（ A ）
1000A．2000 B．2001 C．2003 D．2005 【解】a1?a?c?1，an?a?c?3，则3?1?(n?1)d?n?【练习3】已知数列?an?的通项公式an?log2成立的自然数n（ B ） A．有最大值63 B．有最小值63 【解】Sn?a1?a2???an?log22?1?2001 dn?1,(n?N?)，设前n项和为Sn，则使Sn??5n?2D．有最大值31
C．有最小值31
23n?12?log2???log2?log2??5 34n?2n?2 解得n?62
n?1*【练习4】设曲线y?x(n?N)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，则a1?a2??a99的值为
n?1【解】点(1,1)在函数y?x(n?N*)的图象上，所以(1,1)为切点，y/?(n?1)xn 得
n， y/|x?1?n?1，所以切线方程为y?1?(n?1)(x?1)，另y?0得：xn?n?1所以a1?a2??a99??2．
1为3
【练习5】在?ABC中，tanA是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解】tanA?d?a7?a3a?2；q3?6?27?q?3，tanB?3，tanC??tan(A?B)
7?3a3tanA?tanB5???1，所以该三角形是锐角三角形 ??1?tanAtanB1?6
n?【练习6】在数列?an?中a1?1,a2?2，且an?2?an?1?(?1)(n?N),则S100? ． 【解】an?2?an?1?(?1)，当n为奇数时，an?2?an?0，所以an?a1?1，当n为偶数时，
nan?2?an?2，则a2k?a2?2(k?1)?2k，所以an?n，S100?(a1?a3???a99)
第 6 页 共 20 页
高三第二轮复习资料(数列)
?(a2?a4???a100)?50?50?102?2600． 2
【练习7】把二进制的数1011001（2）化为五进制是（ C ）
A．224（5） B．234（5） C．324（5） D．423（5） 【解】1011001（2）?1?26?0?25?1?24?1?23?0?22?0?21?1?20?89(10)
89(10)?3?52?2?51?4?50．
?1?a?n,n为奇数． ??2n?an?2n,n为偶数?
四．解答题
例1．数列{an}满足： a1?1,an?1（1）分别求a2,a3,a4,a5的值；
（2）设bn?a2n?2,n?N*，证明数列{bn}是等比数列，并求其通项公式； （3）在（2）条件下，求数列{an}前100项中所有偶数项的和S． 【解】（1）a2?bn?1bn1a2n?11?2?（利用定义法证明等比数列） a2n?221b1?a2?2??
2n?1111∴ 数列{bn}是等比数列，且bn?(?)???()n
2221n（3）由（2）得：a2n?bn?2?2?()(n?1,2,3,?,50)
211?(1?50)112?100?1?50?99?50． S?a2?a4???a100?2?50?21221?21例2．已知函数f(x)满足：对任意的x?R,x?0，恒有f()?x成立，数列{an}、{bn}满足
xaf(an)1，bn?1?bn?． a1?1,b1?1，且对任意n?N?，均有an?1?nanf(an)?2（1）求函数f(x)的解析式； （2）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（3）对于??[0,1]，是否存在k?N?，使得当n?k时，bn?(1??)f(an)恒成立？若存在，试求k的最小值；若不存在，请说明理由．
（2）
第 7 页 共 20 页
35725,a3??,a4?,a5?? 224411a2n?1?2n?1?2(a2n?4n)?2n?1a2n?2?22???2 a2n?2a2n?2a2n?2高三第二轮复习资料(数列)
【解】（ I ）由f()?x，易得f(x)?11,(x?0)
xxaf(an)112111( II )由an?1?n得????2，所以??2
an?1anf(an)?2an?1ananf(an)an1所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列
an11,n?N?. 所以?1?2(n?1)?2n?1，得an?2n?1an1因为bn?1?bn??2n?1.
an所以bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?????(b2?b1)?b1（累加法求通项）
?(2n?3)?(2n?5)?????3?1?1 (n?1)(2n?2)??1?n2?2n?2.
2（III）对于??[0,1]时，bn?(1??)f(an)恒成立，
等价于??[0,1]时 n2?2n?2?(1??)?(2n?1)恒成立，
等价于??[0,1]时，(2n?1)???n2?4n?3?0恒成立，（确定主元?）
设g(?)?(2n?1)??n2?4n?3?0，对于??[0,1]，(2n?1)???n2?4n?3?0恒成立，
?g(0)?0,则有?解得n?3或n?1
?g(1)?0,由此可见存在k?N?使得当n?k时，bn?(1??)f(an)恒成立，其最小值为3.
*例3．已知a,b,m,n?N，{an}是首项为a，公差为b的等差数列；{bn}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a1?b1?a2?b2?a3．
（1）求a的值； （2）数列{1?am}与数列{bn}的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列{cn}，求{cn} 的前n项之和Sn．
【解】（1）∵ am?a?(m?1)b，bn?b?an?1， 由已知a?b?a?b?ab?a?2b， ∴ 由a?2b?ab ，a、a,b?N?得：a?1? 又得b?1?aa． ∵ 0??1， ∴ a?2． bbbb，而?1， ∴ b?3． aa2b1?2(1?)?3． 再由ab?a?2b，b?3，得a?b?1b?1 ∴ 2?a?3 ∴a?2．
n?1 （2）设1?am?bn，即1?a?(m?1)b?b?a
3n?1∴ 3?(m?1)b?b?2， b?n?1?N?．
2?(m?1)n?1n?1∵b?3， ∴ 2?(m?1)?1． ∴ 2?m．
第 8 页 共 20 页
高三第二轮复习资料(数列)
∴ cn?bn?3?2n?1．
例4．已知函数f(x)?(x?1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q?1)的等比
数列.若a1?f(d?1)，a3?f(d?1)，b1?f(q?1)，b3?f(q?1) （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}对任意自然数n均有an?1?值；
cc1c2????n，求c1?c3???c2n?1的b12b2nbn3bn?1an?1与的大小.
3bn?1an?2【解】（1）∵ a3?a1?2d， ∴ f(d?1)?f(d?1)?2d.
（3）试比较
即 d2?(d?2)2?2d， 解得 d?2 ∴ a1?f(2?1)?0. ∴ an?2(n?1).
2∵ b3?q2, ∴ f(q?1)?q2?q.
2f(q?1)(q?2)b1∵ q?0, q?1, ∴ q?3.
又b1?f(q?1)?1， ∴ bn?3n?1
c1， ∴c1?a2b1?2. b1ccc 当n?2时, an?1?1?2???n,
b12b2nbncn?1cc, an?1?2???b12b2(n?1)bn?1c 两式相减，得an?1?an?n?2
nbn（2） 由题设知a2? ∴cn?2nbn?2n?3n?1 （c1?b1a2?2 适合） 设Tn?c1?c3???c2n?1
则Tn?2?6?3?10?3???(4n?2)?3两式相减，得
242n?2
9Tn?2?32?6?34?10?36???(4n?6)?32n?2?(4n?2)?32n ?8Tn?2?4?32?4?34???4?32n?2?(4n?2)?32n
55?8nn9(1?9n)?9 ?2?(4n?2)?9n??? ?221?958n?5n??9 所以Tn?16163b?1a22 （3）n, n?1?1? ?1?n3bn?12n?23?1an?2 现只须比较3?1与2n?2的大小.
第 9 页 共 20 页
n高三第二轮复习资料(数列)
当n?1时, 3n?1?4?2n?2；
当n?2时, 3n?1?10?2n?2?6； 当n?3时, 3n?1?28?2n?2?8； 当n?4时, 3n?1?82?2n?2?10.
猜想n?2时，3n?1?2n?2. 用数学归纳法证明
（1）当n?2时，左边?3n?1?10，右边?2n?2?6，3n?1?2n?2成立. （2）假设当n?k时, 不等式成立，即3k?1?2k?2. 当n=k+1时, 3k?1?1?3?3k?1?3k?1?2?3k
?2k?2?2?3k?2k?2?2?2(k?1)?2.
即当n?k?1时，不等式也成立. 由（1）（2），可知n?2时，3n?1?2n?2都成立. 所以 3n?1?2n?2（当且仅当n＝1时，等号成立） 所以1?n2?1?2.即3bn?1?an?1.
3?12n?23bn?1an?2 【另解】3n?1?(1?2)n?1?1?2n???1?2n?2 例5．设b?0,数列?an?满足a1=b,an?nban?1(n?2),
an?1?2n?2bn?1（1）求数列?an?的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1
2nban?1n12n?1【解】（1）由a1?b?0,知an??0,??.
an?1?2n?2anbban?1n1 令An?,A1?，
anb
12122n?22n?1当n?2时，An??An?1??2??n?1?n?1A1bbbbbb122n?22n?1??2??n?1?n.
bbbbn1?2?(1???)bn?2nbb???n, ① 当b?2时， An?2b(b?2)1?b?nbn(b?2)n,b?2? ② 当b?2时，An?，an??bn?2n
2?2,b?2?bn?1nbn(b?2)bn?1?n?1?1 （2）当b?2时，要证an?n?1?1，只需证
2bn?222bn?1bn?2nbn?2nnn?1nn?1n?1?n2b?(2?b)?只需证nb?(n?1?1)?
b?2b?22nnn?1n?1b?2?(2n?1?bn?1)(bn?1?2bn?2??2n?1) 因为(2?b)b?2n?1n?1n?2n?22n2n2n?1??2n?1bn?1 ?2b?2b??2?b?2b第 10 页 共 20 页