高三第二轮复习资料(数列)
代入（2）、（3）得： ??a1?10 ?10?a1?12
14a?168?1a1?Z,?a1?11或12 ?an?12?n或an?13?n
【练习4】已知函数f(x)?2x?31，数列{an}满足a1?1，an?1?f()，n?R． 3xan （1）求数列{an}的前n项和公式；
（2）令Tn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5???a2n?1a2n?a2na2n?1； （3）令bn?1an?1an(n?2)，b1?3， Sn?b1?b2???bn，若Sn?m?2010对一切 2n?N*都成立，求m的最小值．
【解】（1）因为f(x)?2x?31，an?1?f()， 所以an?13xan2?3an2?3an2???an?，
333an2221，所以an?1?(n?1)?n?； 3333 （2）a2n?1a2n?a2na2n?1?a2n(a2n?1?a2n?1)（并项求和）
41414441 ?(n?)(n??n?1)???(n?)
33333333Tn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5???a2n?1a2n?a2na2n?1
44n??[(1?2???n)?]
33316n(n?1)4n4(2n?3)??????；
929991119?(?)(n?2)（裂项相消） （3）bn??an?1an(2n?1)(2n?1)22n?12n?19111111?) Sn?b1?b2???bn?3?(??????235572n?12n?1911) ?3?(?232n?1m?2010*因为Sn?对一切n?N都成立，
2m?2010?(Sn)max，则m?2019 所以
21(x?R). 【练习5】 已知函数f(x)?x4?21（1）证明f(x)?f(1?x)?；
2 则an?1?an?第 16 页 共 20 页
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（2）若数列?an?的通项公式为an?f(和Sm；
n)(m?N*,n?1,2,?,m)，求数列?an?的前m项m11112,bn?1?bn?bn，设Tn?，若（2）????3b1?1b2?1bn?1中的Sm满足对任意不小于2的正整数m，Sm?Tn恒成立，试求m的最大值.
1【解】（1）∵f(x)?x，
4?214x4x∴f(1?x)?1?x， ??xx4?24?2?42(4?2)（3）设数列?bn?满足：b1?14x2?4x1∴f(x)?f(1?x)?x. ???4?22(4x?2)2(4x?2)21（2）由（Ⅰ）可知f(x)?f(1?x)?，
2kk1km?k1)?.（中心对称的函数）∴f()?f(1?)?(1?k?m?1)， 即f()?f(
mm2mm21m1∴ak?am?k?， am?f()?f(1)?，
2m6又Sm?a1?a2???am?1?am ① Sm?am?1?am?2???a1?am ②
1m1①+②得2Sm?(m?1)??2am??，（倒序相加法求数列的和）
2261(3m?1). ∴Sm?1212?bn?bn(bn?1) ③ （3）∵b1?,bn?1?bn3∴对任意n?N*,bn?0 ④
1111111由③、④得，∴（变形裂项） ?????bn?1bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1111111111∴Tn?(?)?(?)???(? )???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?12∵bn?1?bn?bn?0，∴bn?1?bn.（作差比较判断单调性）
∴数列?bn?是单调递增数列. ∴Tn关于n递增，
∴当n?2,且n?N*时,Tn?T2.
11144452,b2?(?1)?,b3?(?1)?， 33399981175?∴Tn?T2?3?. b352∵b1?第 17 页 共 20 页
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75175，即(3m?1)?， 5212522384?6 ∴m的最大值为6. ∴m?3939由题意Sm?
11?， Cn：y? （n?N）。从C上的点Qn(xn,yn)作x轴?nxx?2的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn?1(xn?1,yn?1)，设x1?1，
【练习6】已知曲线C：y?an?xn?1?xn bn?yn?yn?1．
（I）求Q1,Q2的坐标； （II）求数列?an?的通项公式；
1（III）记数列?an?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?．
3232(1,)Q(,) 【解】（1）由题意得知Q1(1,1)，P，12323（2）?Qn(xn,yn)，Qn?1(xn?1,yn?1)，点Pn的坐标为(xn,yn?1)
11，yn?1? ?Qn,Qn?1在曲线C上，?yn?xnxn?11又Pn在曲线Cn上，yn?1?（点数列的常用作法） ?nxn?2?xn?1?xn?2?n ?an?2?n
（3）xn?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)?……+(x2?x1)?x1
11?()n?(n?1)2?2?21?n ?2?(n?2)????2?1?1? ?211?21?n1 ?an?bn?(xn?1?xn)?(yn?yn?1)?2(?) xnxn?1111?2?n(?)? nn2?21?n2?2?n(2?2?2)?(2?2?1)?2?2n?2?2n，2?2n?1?3 1?an?bn?（放缩成等比数列） 3?2n111Sn?a1b1?a2b2????anbn?????? 2n3?23?23?211?()n12?1(1?1)?1 ??16332n1?2 【练习7】在m个不同数的排列P1P2?Pn中，若1?i?j?m时，Pi?Pj（即前面某数大于后
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面某数），称Pi与Pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序数的总数称为该排列的逆序数，记排列 若排列21的逆序数为a1?1，排列321的逆序数为a2?3， (n?1)n(n?1)?321的逆序数为an，排列4321的逆序数为a3?6．
（1）求a4,a5，并写出an的表达式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，
13? ?S2i?1iaa（3）令bn?n?n?1，证明：2n?b1?b2???bn?2n?3．
an?1ann(n?1). 【解】（I）由已知得a4?10,a5?15，an?n?(n?1)???2?1?2121n(n?1)(2n?1)n(n?1)22? （II）Sn?(1?2???n)?(1?2???n)?
22124n(n?1)(2n?4)n(n?1)(n?2)??
1261611 所以??3[?]
Snn(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)(n?2)n1111111?3(???????) Tn??26612n(n?1)(n?1)(n?2)Si?1i113)? ?3(?2(n?1)(n?2)2求证：Tn?nanann?2nn?2?n?1???2?2,n?1,2,?, an?1ann?2nn?2n 所以b1?b2???bn?2n.
nn?222??2??,n?1,2,?（利用裂项相消） 又因为bn?n?2nnn?2111111)] 所以 b1?b2???bn?2n?2[(?)?(?)???(?1324nn?222??2n?3 ?2n?3?n?1n?2 综上，2n?b1?b2???bn?2n?3,n?1,2,?,
1【练习8】已知函数f(x)(x?R,x?)满足ax?f(x)?2bx?f(x)，a?0，f(1)?1；且使
af(x)?2x成立的实数x只有一个． （Ⅰ）求函数f(x)的表达式；
an2*（Ⅱ）若数列?an?满足a1?，an?1?f(an)，bn?，n?N，证明数列?bn? 是等比
31?an数列，并求出?bn?的通项公式；
（3）因为bn?第 19 页 共 20 页
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（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，如果cn?31?S?,,证明：，,(n?N)S?c?c????cnn12n2bn?(?1)nn?N*．
【解】（Ⅰ）由ax?f(x)?2bx?f(x)，x?12bx，a?0，得f(x)? aax?12bx?2x， 由f(1)?1，得a?2b?1，由f(x)?2x只有一解，即
ax?12也就是2ax?2(1?b)x?0(a?0)只有一解， ∴4(1?b)2?4?2a?0?0∴b??1
2x∴a??1.故f(x)?
x?12an1112（Ⅱ）∵a1?，an?1?f(an)? ∴?(?1)
3an?12anan?111111即即bn?1?2bn(n?N?) ?1?(?1)，∴?an?12anbn?12bn则数列?bn?是首项b1?2，公比为2的等比数列，则bn?2n,(n?N?)
（Ⅲ）当n为偶数时,
112n?2n?12n?2n?1cn?cn?1?n???
2?12n?1?12n?2n?1?2n?1?2n?12n?2n?111即cn?cn?1?n?n?1 （放缩成等比数列）
221111∴Sn?c1?c2?c3????cn?1?2?3?4?5???
22221232即Sn?1?? 当n为奇数时, 同理可得 121?2第 20 页 共 20 页