Yt??Xt??t （5-1）
222 Ht?var(?t|?t?1)?a0?a1?t?1?a2?t?2???ap?t?p （5-2）
其中，?t?1表示t-1时刻所有可得信息的集合，ht为条件方差。方程（5-2）表示误差项?t的方差ht由两部分组成：一个常数项和p个时刻关于变化量的信息，该信息用前p个时刻的残差平方表示（ARCH项）。 广义自回归条件异方差GARCH(p，q)模型可表示为：
Yt??Xt??t （5-3）
Ht?var(?t|?t?1)?a0?a1?t2?1?a2?t2?2???ap?t2?p??1ht?1????qht?q （5-4） 5.2.1.2 道琼斯指数收益率波动分析 1、描述性统计
我们用Eviews得到道琼斯收益率rh的描述性统计量，如图5.2所示。观察这些数据可以发现：样本期内道琼斯收益率均值为0.0354%，标准差为0.9189%，偏度为0.4206，峰度为5.6496，远高于正态分布的峰度值3，说明收益率rt具有尖峰和厚尾特征。Jarque-Beva正态性检验也证实了这一点，其统计量为64，说明在极小水平下，收益率rt显著异于正态分布。
图5.2 道琼斯收益率rh的描述性统计量
2、平稳性检验
对收益率rh进行ADF单位根检验，选择之后4阶，带截距项而无趋势项，得到如图5.3结果。
图5.3 rh的ADF检验结果
在1%的显著水平下，道琼斯收益率rt拒绝随机游走的假说，说明是平稳的时间序列数据。
3、均值方程的确定及残差序列自相关检验 1）通过对收益率的自相关检验。
我们发现道琼斯收益率自相关序列截尾，如图5.4所示。所以认为不存在在自相关。
图5.4 道琼斯收益率rh自相关检验
2）对残差平方做线形图
图5.5 rh残差平方线形图
从图5.5可以看出，适合用GARCH?t的波动具有明显的时间可变性和集簇性，类模型来建模。
3）GARCH(1，1)模型的估计结果 用Eviews给出的结果如图5.6所示。
图5.6 道琼斯收益率GARCH(1，1）模型的估计结果
可见，道琼斯指数收益率条件方差方程中ARCH项和GARCH项大致是显著的，表明收益率序列具有显著的波动集簇性。ARCH项和GARCH项系数之和为0.94，小于1。因此GARCH（1,1）过程是平稳的，其条件方差表现出均值回复，即过去的波动对未来的影响是逐渐减小的。 5.2.2 分析检验金融指数序列平稳性 5.2.2.1 时间序列平稳性原理
我们研究时间序列的目的，就是要寻找其发展的规律，当然希望时间序列具有一定的平稳性。所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。
直观上，一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一是弱平稳。严格平稳是指随机过程｛yt｝的联合分布函数与时间的位移无关。设｛yt｝为一随机过程，n为任意正整数, h为任意实数，若联合分布函数满足：
Fyt,yt12,,ytn?x1,,xn??Fyt?h,1,ytn?h?x1,,xn?
则称｛yt｝为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。
弱平稳是指随机过程{yt}的期望、方差和协方差不随时间推移而变化。若｛yt｝满足以下三条件：
E(yt)??，Var(yt)??2，Cov(yt,ys)?f(t?s)
则称｛yt｝为弱平稳随机过程。
需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：只有具有有限二阶矩的严平稳过程，才是弱平稳过程；弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。 5.2.2.2 平稳时间序列的意义
时间序列有可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察值。我们要运用数理统计方法对之进行推断，就毫无办法。因为数理统计在对总体进行推断时，是从一个总体，也就是一个随机变量中抽取若干个样本观测。而时间序列有可列
多个变量，每个变量在观察的历史进程中都只出现一次。如果时间序列不平稳，就其均值来说，也就是每个E(Xt)??t都不相等，而每个?t都在只能用一个观测去估计，这样做效果肯定不佳。但是如果时间序列是平稳的，就可以将这可列个不同的随机变量看作相同的总体，他们的观测值就可以看作从同一个总体中抽出的样本，从而可以利用经典的数理统计方法进行处理。 5.2.2.3 分析检验时间序列平稳性
一个零均值平稳序列的自相关函数要么是截尾的，要么是拖尾的。因此，如果一个时间序列零均值化以后的自相关函数出现了缓慢衰减的情况，则说明序列可能存在某种趋势或周期性。
在这里我们用自相关函数检验法检验时间序列的平稳性。用SAS程序求出道琼斯指数序列的自相关图（程序见附录3）如图5.7所示。
图5.7 道琼斯指数自相关函数图
从图5.7中序列的自相关图可以看出自相关函数缓慢衰减，说明时间序列存在一定的非平稳性。
5.3 问题三 根据价格波动性进行平稳化处理 5.3.1 差分运算的实质
差分法是时间序列分析中用来消除非平稳性的最常用的方法，我们用差分法对道琼斯价格指数进行平稳化处理。
根据Cramer分解定理，方差齐性非平稳序列都可以分解为如下形式：
Xt??t??t???jtj??(B)?ij?0d，