??t?为一个零均值白噪声序列。
离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导，显然，在Cramer分解定理的保证下，d阶差分就可以将?Xt?中蕴含的确定性信息充分提取，使序列修匀。我们通过d阶差分就可以将多项式??j转化为常数，即
j
j?0d
?d??j?0djj?c，
c为某一常数。展开1阶差分，有
?Xt?Xt?Xt?1
等价于
Xt??Xt?Xt?1
这意味着1阶差分实质上就是一个自回归过程，它使用延迟一期的历史数据?Xt-1?作为自变量来解释当期序列值?Xt?的变动情况。差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息。 5.3.2 模型求解
我们先对时间序列进行一阶差分运算，然后用SAS画出时序图（程序见附录4），如图5.8所示。
图5.8道琼斯指数经过一阶差分后的时序图
从图5.8可以看出经过差分后的时序图的观察值围绕均值上下波动，可以大致
判断经过一阶差分后的时间序列为平稳的。我们依然用自相关函数检验法检验其平稳性（程序见附录5），得到自相关函数图，如图5.9所示。
图5.9 经过一阶差分的道琼斯指数自相关函数
从图5.9中序列的自相关图可以看出自相关函数快速衰减，说明经过一阶差分后的时间序列是平稳的，即完成了平稳化处理。 5.4 问题四 分析每个市场的风险并进行拟合和预测 <1> 分析道琼斯股票指数市场风险并进行拟合预测
差分运算具有强大的确定性信息提取能力，许多非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质（如问题三所分析的那样），我们称这个非平稳序列为差分平稳序列。对差分平稳序列我们用ARIMA模型进行拟合预测。
(p,d,q)模型 5.4.1 ARIMA(p,d,q)模型的结构为 ARIMA
??(B)?dxt??(B)?t
??2?E(?t)?0，Var(?t)?? ?，E(?t?s)?0，s?t?E(x?)?0，?s?tt??(p,d,q)对d阶其次非平稳?Xt?而言，?dXt是一个平稳序列，设其适合ARIMA??模型，即
?(B)?dXt??(B)?t，
或者
?(B)(1?B)dXt??(B)?t，
其中，
?(B)?1??1B??2B2????pBp， ?(B)?1??1B??2B2????qBq，
则上述模型为求和自回归滑动平均模型（Integrated Autoregressive Moving
(p,d,q)。 Average Model），简记为ARIMA5.4.2 模型求解
在第三问中我们已经用一阶差分法消除了时间序列的非平稳性，这时还需要对平稳的一阶差分序列进行白噪声检验（程序见附录6），得到一阶差分白噪声检验图5.10所示。
图5.10一阶差分白噪声检验
从图5.10知，在显著性水平为0.01的条件下，由于延迟6阶的?2检验统计量的p值显著小于0.01，所以该序列不是白噪声序列，我们可以对平稳序列
??Xt?进行建模。为此，我们依照下面的步骤一次进行。
1、用AIC和SBC准则确定ARMA?p,q?模型的阶数，也即p和q的值。由SAS（程序见附录7）得到图5.11所示BIC值。
图5.11 BIC值
由图5.11可以看出，ARMA(1，5)模型的BIC(1，5)=9.220585最小，故选用模型ARMA(1，5)拟合数据比较合理。
2、模型的适应性检验、模型参数估计和参数的显著性检验。由SAS（程序见附录8）程序给出如图5.12所示结果。
图5.12ARMA(1，5)模型的残差白噪声检验
由图5.12可以看出，模型通过了白噪声检验，说明拟合充分。
图5.13 ARMA(1，5)模型的参数估计及检验
由图5.13可以看出MA1，1、MA1，2、MA1，3和MA1,5的t值较小，参数显著为零。去掉这四项重新进行估计，如图5.14所示。
图5.14 修改后的ARMA(1，5)模型的参数估计及检验
由图5.14可以看出修改后的模型参数显著性检验的P值<0.05，通过显著性检验，下面再看模型的适应性检验。
图5.15 LB统计量
从图5.15可以看出LB(6)=5.81，LB(12)=7.14，LB(18)=10.42，
LB(24)=17.82，LB(30)=21.50，LB(36)=25.00，它们的P值都比0.05大，因此我们不能拒绝零假设，也就是有理由认为模型是适应的。所以我们可以写出模型的表达式：
Xt?12167.8?1.99511Xt?1?0.99511Xt?2?0.8286?t?0.1714?t?2，?t~WN(0,??2)
3、对道琼斯股票指数时间序列进行预测。我们给出未来五个时刻的预测值，由SAS（程序间附录9）给出预报值及预测图。
图5.16 道琼斯指数预报值
图5.17道琼斯指数预报值以及区域
由图5.17可以看到，中间的红色实线为预报值，绿色虚线为95%的置信下限和上限。由图可以看出拟合效果非常好。 <2> 分析上证股票指数市场风险并进行拟合预测
由于此步骤与<1>中模型与求解过程完全一样，所以在这里直接给出结果及分析，过程不再累述了。先做出原始数据的时序图，如图5.18所示。