∴函数f（x）的各极大值之和为： eπ+e3π+e5π+…+e2015π=故选：D． 40.B
【考点】利用导数研究函数的单调性．
3
【分析】构造函数h（x）=xf（x）﹣2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即
，
可．
3
【解答】解：令h（x）=xf（x）﹣2x， 2
则h′（x）=x[3xf（x）+xf'（x）﹣2]，
2
若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+xf'（x）＜2，
则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立， 故h（x）在[0，+∞）递减，
33
若xf（x）+xf（﹣x）=0，
则h（x）=h（﹣x），
则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，
32
不等式xf（x）﹣8f（2）＜x﹣4， 32
即不等式xf（x）﹣x＜8f（2）﹣4，
即h（x）＜h（2），
故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．
41.答案：C
42.C
【考点】利用导数研究函数的单调性．
2
【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调
性，然后推出不等式得到结果．
2
【解答】解：∵f（x）=2x﹣f（﹣x），
∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，
设g（x）=f（x）﹣x，则g（x）+g（﹣x）=0， ∴函数g（x）为奇函数．
2
∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x， g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，
故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数， 故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数， 若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，
22
则f（m+2）﹣（m+2）≤f（﹣m）﹣m，
即g（m+2）＜g（﹣m）， ∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1， 故选：C． 43.B
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
【分析】令y=xe，则y'=（1+x）e，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe图象，
x2
利用图象变换得f（x）=|xe|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m﹣tm+1=0两
x
x
x
根分别在
x
，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．
x
【解答】解：令y=xe，则y'=（1+x）e，由y'=0，得x=﹣1， 当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减， 当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函
x
数y单调递增．作出y=xe图象，
x
利用图象变换得f（x）=|xe|图象（如图10），
令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m﹣tm+1=0 两根分别在
满足g（x）=﹣1的x有4个，由
．
时（如图11），
，
2
解得故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用． 44.D
【考点】函数恒成立问题．
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥范围．
【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称， ∴函数f（x）为偶函数，
∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减， ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立， 即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立． ∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立， 即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立， 即2m≥令g（x）=
max=
且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的
且2m≤对x∈[1，3]恒成立．
，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）
，则 g′（x）=
．
，h′（x）=，
]．
＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=
．
令h（x）=综上所述，m∈[故选D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题． 45.B
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】分别求出x≤0时，x＞0时，函数f（x）的值域，再由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），即为
+a=（x0﹣1）3+1有解，运用参数分离和构造函数，求出导数，判
断符号，可得单调性，即可得到f（x）的值域，再由不等式恒成立思想，可得b的范围．
【解答】解：函数f（x）=当x≤0时，f（x）=
+a≥a；
，
3
当x＞0时，f（x）=（x﹣1）+1递增，可得f（x）＞0．
由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0）， 即为
+a=（x0﹣1）3+1有解，
，
，x0∈[2，+∞），
＞0在x0∈[2，+∞）恒成立，
3
即为a=（x0﹣1）+1﹣3
由y=（x0﹣1）+1﹣
导数为3（x0﹣1）﹣
2
即为函数y在x0∈[2，+∞）递增， 即有a≥2﹣
＞0，
则函数f（x）的值域为（0，+∞）． 由任意的x∈R，f（x）＞b恒成立， 可得b≤0． 故选：B． 46.D
【考点】KE：曲线与方程．
【分析】求出y0的范围，证明f（y0）=y0，得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围． 【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴显然f（x）=
是增函数，
的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e，
（1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾； （2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））=y0矛盾； ∴f（y0）=y0，
∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解， 由f（x）=x得m=x﹣x﹣lnx，
2
令g（x）=x﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，
2
则g′（x）=2x﹣1﹣=∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，
=，
∴g（x）在[1，e]上单调递增，
∴gmin（x）=g（1）=0，gmax（x）=g（e）=e2﹣e﹣1， ∴0≤m≤e2﹣e﹣1． 故选D．
【点评】本题考查了函数零点与函数单调性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题． 47.B
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】推出f'（x）的表达式，当x=2时，f（2）=
，构造辅助函数，求导，由g′
（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．
23x
【解答】解：由2xf（x）+xf'（x）=e，
当x＞0时，
故此等式可化为：f'（x）=
，且当x=2时，f（2）=
，
f'（2）==0，
22
令g（x）=e﹣2xf（x），g（2）=0， 222
求导g′（x）=e﹣2[xf′（x）+2xf（x）]=e﹣
=（x﹣2），
当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0， 则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增， g（z）的最小值为g（2）=0， 则f'（x）≥0恒成立， ∴f（x）的最小值f（2）=故选：B． 48.A
【考点】3T：函数的值． 【分析】令F（x）=
，令G（x）=
，根据函数的单调性分别求出F（x）的最小
，
值和G（x）的最大值，求出a的范围即可．