数学建模 ——山羊数量变化过程及趋势 专业：交工082 姓名：李 钊 学号:200800643 小组任务：数学计算及文章整理 专业：交工082 姓名：刘欢其 学号:200800611 小组任务：资料收集及计算机编程、绘图 1
数学建模
——山羊数量变化过程及趋势
一·摘要
有一百只山羊，分别在较好、中等、较差的环境下，年平均增长率分别为 1.5% 0.5% -4.0% ，根据单一控制变量原理，不考虑山羊迁入和迁出，假设环境不随时间变化而变化，不考虑在考察期间山羊受到自然灾害、人为因素等影响，在理想的自然条件下考虑山羊的变化规律，对其逐年变化的规律进行研究。考虑人工捕获时动物是否会灭绝，为人工繁殖提供一个可行的方案。分别按以下情况提出三个问题，分别讨论动物数量逐年变化的过程及趋势：
1、在这三种环境下，山羊数量十五年的变化过程，对结果列表并图示；
2、如果每年捕获三只，山羊数量会如何变化？会灭绝吗？ 3、.要使山羊数量稳定在六十只左右，每年需要人工繁殖多少只？
针对问题1、2，可以建立指数模型。通过指数模型，建立山羊数量与时间（年份）之间的指数函数模型，制成表格，画出函数图即可得到问题1的解。对于问题2，可以建立指数多项式函数式，在不同的捕获量下，根据函数变化趋势，预测山羊会不会灭绝，为物种的保护和资源的最大利用率提出可行方案。
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针对问题3，可以建立指数模型和微分方程来求解，分析所建立的函数模型，可以得到，在有人工繁殖的前提条件下，可以将山羊的数量稳定在某一个稳定的数量范围（60只左右）之内，使其数量变化率趋近于0。这可以应用到人工繁殖中，为人工繁殖山羊提供一个行之有效的方案，使山羊数量控制在一定范围内，达到一个稳定值，控制其数量。同样的，这种方案、研究方法和解决问题的思路还可以应用到类似情况问题的研究上，对于其他动物的研究有借鉴价值，具有广泛意义。
关键词：环境影响 动物数量 指数模型 微分方程
二·提出问题
在不同环境下动物数量逐年变化的研究，在动物保护、人工繁殖、饲养方面都有着重要意义及广泛的应用。
本文主要通过对山羊数量逐年变化的研究，将山羊在不同自然环境下的数量变化图示化，考虑在捕获山羊时山羊是否会灭绝的问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，使山羊的数量稳定于一定值。
三·模型假设
① 山羊群体无迁入、迁出现象，处于一个相对封闭的环境中； ② 山羊群体中的每个个体具有相同的死亡概率与繁殖机会，不考虑年龄和个体雌雄的差异；
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③ 将山羊数量的变化视为连续函数且光滑，只与时间有关的函数；
④ 从一个群体的角度总体考虑山羊死亡与繁殖过程的平均效应；
⑤ 数量增长过程是平稳的，与时间无关；
⑥ 对山羊每年的捕捉和繁殖都是在年末统计进行的；
四·模型参数 r：表示增长率；
x0：表示山羊的初始数量100只； x/t：表示第t年山羊的数量； a：每年繁殖或捕获的山羊的数量。
yi：表示在不同环境下山羊的数量，其中i=1，2，3；
（1：较好环境 2：中等环境 3：较差环境）。
五·模型分析 ? 问题1 ：
山羊在较好、中等及较差的自然环境条件下，每年平均分别以1.5% 0.5% -4.0%的增长率增长，可以得到山羊数量的变化函数应服从指数变化，分别为
y1=100(1+0.015).^x, y2=100(1+0.005).^x,
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y3=100(1-0.04).^x。
? 问题2：
每年捕获三只，则动物在较好的自然环境下数量变化为： 第一年，y1=100*(1+1.5%)-3；
第二年，y1=100*(1+1.5%)^2-3*(1+1.5%)-3；
第三年，y1=100*(1+1.5%)^3-3*(1+1.5%)^2-3*(1+1.5%)-3; ?? ??
第x年，y1=100*(1+1.5%).^x-3*(1-1.015.^x)/(1-1.015); 依此，中等及较差的自然环境下数量变化分别为： y2=100*(1+0.5%).^x-3*(1-1.005.^x)/(1-1.005); y3=100*(1-4.0%).^x-3*(1-0.96.^x)/0.04。 ? 问题3：
在较好和中等环境下，山羊数量增长系数均大于0，不会出现负增长现象，如使山羊数量稳定在60只左右，属于不可能事件。较差的自然环境下山羊数量增长率为小于0的负数，欲使其数量稳定在60只左右，需要进行人工繁殖方能达到目的。
在较差的自然环境下，如果想要山羊的数量稳定在60只左右，设每年需人工饲养的动物数为a,则
y3=100*(1-4.0%).^x+a*(1-(1-0.04).^x)/4.0%。
在t年以后动物数量逐渐稳定在60只左右，那么动物增长率
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