本科毕业论文
题目： 武汉大学近十年量子力学
部分考研真题的分类解析
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武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析
摘要: 量子力学是大学物理学本科学生的必修课，同时它也是国内许多知名高校的物理
学研究生入学考试的必考科目。本文将武汉大学2002年—2011年的非相对论量子力学考研真题分八大类透析，给出了标准解法。并在此基础上提炼出解题模型，提高了运用量子力学的理论解决问题的能力。
关键词: 量子力学；考研真题；模型
I
目 录
1 真题的分类解析 ........................................................................................................................................... 1
1.1.1阶梯势垒的散射 ....................................................................................................................... 1 1.1.2 ?势的散射 ............................................................................................................................. 2 1.2一维束缚定态问题.............................................................................................................................. 3
1.2.1无限深势阱求解 ....................................................................................................................... 3 1.2.2 ?势求解 ................................................................................................................................. 3 1.2.3 初值问题求解.......................................................................................................................... 5 1.2.4傅立叶变换的应用 ................................................................................................................... 6 1.3 三维束缚态问题 ................................................................................................................................ 7
1.3.1 无限深球方势阱基态求法 ...................................................................................................... 7 1.3.2 盒子势求解.............................................................................................................................. 9 1.4 两个角动量算符有关题目求解 ......................................................................................................... 9
1.4.1 轨道角动量算符 ...................................................................................................................... 9 1.4.2 自旋角动量算符 .................................................................................................................... 11 1.6 表象理论相关习题求解................................................................................................................... 14 1.7 近似理论的应用 .............................................................................................................................. 16
1.7.1 非简并定态微扰 .................................................................................................................... 16 1.7.2 简并定态微扰........................................................................................................................ 17 1.7.3变分法 .................................................................................................................................... 18
2 重要解题模型 ............................................................................................................................................. 20
2.2?(x)势模型 ....................................................................................................................................... 20 2.3盒子势模型 ....................................................................................................................................... 21
2.4中心力场模型 ................................................................................................................................... 21 2.5平面转子模型 ................................................................................................................................... 21 3 总结 ..................................................................................................................................................... 21
II
前言：量子力学……①②③
1 真题的分类解析
在该部分，给出了真题的分类求解，并根据笔者学习量子力学时学习的深度排序。同时为了丰富文章的内容又加入一部分其他习题。该篇是本文的重点和主体。
1.1一维散射问题
1.1.1阶梯势垒的散射
??V0,x?0入射，求透射系数。
?0,x?0例题1.1（2002年）粒子以能量E由左向右对阶梯势垒 V?x???讨论如下三种情况：
㈠?V0?E?0 ； ㈡E >0； ㈢粒子能量E>0,但由左向右入射。
解：粒子入射示意图1：
①若?V0?E?0，则E?V0?0，且E<0， 在x<0时，Schr?dinger方程为：
图1粒子入射示意图
h2d2??2??x??V0??x??E??x? （1） 2mdx记k?2m(E?V0)hd22（2），则(1)式可以化简为：2??k??0
dxikx方程的解为： ?(x)?e?Re?ikx （3）
由其物理意义可知：（3）式左边一项代表入射波，右边一项代表反射波。 在x>0时，Schr?dinger方程为：
h2d2????x??E??x? （4） 2mdx2d2?2mE2记k??（5），则（4）式可以化简为：2??(k?)??0
hdx方程的解为： ?(x)?Se?k?x （6）
由其物理意义可知，（6）式代表的指数衰减波。由波函数的连续性条件，联立（3）（6）式得：
1
??(0)?1?R?S2ikk??ik；求解该方程组得：； S?R??ik?k?k??ik???(0)?ik?ikR??k?S由反射系数的定义并结合R的值得：
R2?221 （7） 22?k?R2mv0?h2透射系数为：1?R，带入数据得：1?R? （8）
2mv0②E>0,时粒子能量高于势场，求解方法与①类似，只是将（1）（4）中的?E换成E求解即可：
?2m(E?V0)k????(0)?1?R?S?h，其中? （9） ????(0)?ik?ikR??kS?2mE??k???h带入数据得即可求出透射系数。
③粒子从右往左入射时，比①中的从左往右入射，就是将（1）（4）两式中的x换成?x求解即可：
?2mEk????(0)?1?R?S?h，其中? （10） ????(0)?ik?ikR??kS2m(E?V0)???k???h带入数据得即可求出透射系数。
1.1.2 ?势的散射
例题1.2 设x=a处有一维?势垒 u?x??A?(x?a),A?0，能量为E的粒子从左方入射。求透射系数。
解：微观粒子的运动演化可由Schr?dinger方程给出：
h2d2??2??x??A?(x?a)??x??E??x? （1） 2mdxd2显然??x?在x=a处发散，对（1）式在区间?a??,a???上积分，可得：
dxh2?????(a??)???(a??)??A?(a)?E???x?dx （2） 2ma??再令??0，得：
2
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