??(a??)???(a??)?2mA?(a)????(a)?0] （3） ??a?，且[??2h可见，???a?不连续，但是这个问题中粒子概率不连续，故??a?连续，波函数可写为：
ik(x?a)??Re?ik(x?a),x?a?e?(x)??ik(x?a) （4）
,x?a??Se其中，波失k?2mE，由波函数在x=a点连续得：1+R=S （5） h在x=a处，波函数的微商不连续，可以将（4）带入（3）得：
ik(S?1?R)?（5）（6）联立，消去R得透射系数：
2mAS （6） 2h?1?mA2?T?S??1?2?
?2hE?2注：?势使???a?不连续，是由Schr?dinger方程导致的。
1.2一维束缚定态问题
1.2.1无限深势阱求解
??,(x?a,x?0)求解体系的能级及波函数。
0,(0?x?a)?例题2.1 一个粒子在一维无限深势阱V(x)??注：在非相对论量子力学中，粒子无法穿透无穷高势壁的，故求解的结果必然是束缚态。
1.2.2 ?势求解
例题2.2 粒子在V(x)??a?(x)，（a>0）中运动，求粒子的束缚态能级及相应的归一化波函数。 思考：势场如果换成了V(x)?a?(x)，可以求解吗？（求解出的k为虚数，无物理意义）
3
例题2.3（2011年）设粒子在一维势阱V(x)??理论求体系基态能量的一级近似值。
解：因为??1，我们可以将?x看成是微扰：H?H0?H?
??,(x?a,x?0)中运动，??1，试用定态微扰
?x,(0?x?a)?h2d2μ即，在阱内： H?????x （1） 2mdx2h2d2?2，H???x；由例题2.1的结论可知： 其中，H0??2mdxEn?0?n2?2?2?2?2?0??，（其中n?1,2,3?）；当n=1时，得到：E1? （2） 2ma22ma2?2?2n?x?xsin（,0?x?a）sin（,0?x?a）??(0)(0)?n(x)??a，当n=1时，得到：?1(x)??a （3） aa?0，（x?a,x?0）?0，（x?a,x?0）??可见体系在基态无简并，则由无简并定态微扰理论可知：
E1=??1?(0)1(x)H??(0)12?x?a?xdx?(x)??sin2
aa20a?基态能量的一级修正为：
?a2
例题2.4（2008年）对于束缚在两个刚性势壁V(x)??能级的本征态中：
㈠本征能量与波函数； ㈡计算位置的不确定度(?x)解：①由例题2.1的结论可知：
2??,(x?a,x?0)之间的一维粒子，在第n
0,(0?x?a)?
n2?2h2本征能量En? （1）
2ma2?2n?xsin（,0?x?a）?波函数?n(x)??a ，（其中n?1,2,3L） （2） a?0，（x?a,x?0）?②求位置的不确定度，就是求涨落即平方平均偏差：(?x)4
2?x2?x （3）
2
由量子力学中平均值公式x?)（3）两式，得到: ?n(x)x?n(x)，联立（2）
a2?6?(?x)=?1?22?
12?n??2
1.2.3 初值问题求解
??,(x?a,x?0)
0,(0?x?a)?例题2.5（2006年、2003年）粒子在一维无限深方势阱中运动，势能函数V(x)??㈠求粒子的能量许可值和归一化波函数；
㈡已知在t=0时刻粒子处于波函数 ??x;0??（1+3cos时刻粒子状态的归一化波函数??x;t?；
㈢求粒子在状态??x;t?下能量的可能取值和取值几率，以及能量的期望值。 解：①由例题2.1的结论有：
?xa）sin?xa（阱内）描述的状态之中，求t>0
n2?2h2本征能量En? （1）
2ma2?2n?xsin（,0?x?a）?波函数?n(x)??a （其中n?1,2,3?） （2） a?0，（x?a,x?0）?②结合（2）式，并由题意得：??x;0??（1+3cos?xa）sin?xa
?sin?xa3a32?x??1??2 （3） ?sin222a2ai?Ent?将??x;t?按?n?x?展开：??x;t???C?nnn(x)e，令t=0联立（3）式得：
C1?a3a；C2?（Cn?0，当n?1,2时） （4） 222引入归一化常数A，可得： ??x;t??A(sin5
?xa
?ei?E1t?iE2t32?x???sine) （5） 2a
对（5）归一化后，得： A?2 （6） 13③联立（1）（5）（6）式可得??x;t?下可能取值为： E1、E2，几率分别为：
49、； 131320?2h249 E?E1?E2?213ma1313
例题
2.6（2002
年）一维谐振子在
t=0
时刻处于归一化波函数：
??x;0??11?0(x)??2(x)?c?4(x)之中，式中的?0(x)、?2(x)、?4(x)均为一维谐振子的定态25波函数，求：
㈠待定系数c；㈡t=0时刻体系能量，宇称的可能取值及相应的几率； ㈢t>0时刻，体系的状态波函数??x;t?=？
解：①利用谐振子波函数的正交归一性，将??x;0?归一化得：
3112 ??c?1，得：c?1025②t=0时刻，由谐振子能级表达式En?(?n)h?（?为谐振子的振动频率）得能量的可能取值：
12159E0?h?，E2?h?，E4?h? （1）
222③将??x;t?按?n?x?展开：??x;t???C?nnn(x)ei?Enth，令t=0联立（1）式得
iii?E0t?E2t?E4t113??x;t???0(x)eh??2(x)eh??4(x)eh
2510
1.2.4傅立叶变换的应用
??,(x?a,x?0)例题2.9（2011年）处于一维无限深方势阱V(x)??中的粒子，求粒子处于基态
0,(0?x?a)?和第一激发态下动量可能取值，相应几率及动量平均值。
6
1解：计算中会用到的Fourier变换：??p??p??2?由例题2.1的结论有：
????e?ip??p?xdx。 （1）
n2?2h2本征能量En? （2） 22ma?2n?xsin（,0?x?a）?波函数?n(x)??a （其中n?1,2,3L） （3） a?0，（x?a,x?0）??x?ix?21?i?2?xaasin①基态波函数：?1?x?? ??e?e?
a2i?aa?由Fourier变换并结合（1）式得：
1c1(p)?2?h i. 当
?????1?x?ei?pxhdx ??1???p????p?????????????? （4） ahi??ah??ah???a?p???2=0时，即p1?，那么出现p1的几率为：?1?c1(p)?，可得： haahp1?p1?1??2a2 （5）
ii. 当
??p??h?2，那么出现p2的几率为：?2?c2(p)?，可得： ?=0时，即：p2?ahaahp2?p2?2???2a2 （6）
联立（5）（6）式可得： p?p1?p2=0 ②通过（3）式可得第一激发态波函数：?2?x??求法与①类似。其结果也为0。
22?xsin，相应可能出现的几率和动量平均值的aa 1.3 三维束缚态问题
1.3.1 无限深球方势阱基态求法
??,(r?a)下的基态能量和归一化波
0,(0?r?a)?例题3.1（2010年）求解粒子在无限深球方势阱V(r)??7