函数。
解：分析，中心力场又称辏力场，求解时选取球坐标系。由题意可知，V(r)是r的函数，与角度?、?h22μ无关，则： H????V(r) （1）
2m对于基态l?0，设基态波函数为：??r?，球坐标下的基态Schr?dinger方程为：
2drdr??d2???r2mEdr2??r??h2??r??0 令：
u?r?r???r?，k2?2mEh2（3），则（2）式可以化简为： d2dr2u?r??k2u?r??0 方程（3）的解为： u?r??Acoskr?Bsinkr 代入边界条件：u?a??u?0??0，并由其物理意义可知A、B不同时为零，得到：
A=0；sinka?0，则：ka?n?,(n?1、2、3……) 把k的值代回（3）式可得定态能级：
=n2E?2h2n2ma2，(n?1、2、3……) 联立（5）（6）式得：
??r??u?r?r?Bsinkrr 将（8）式归一化可得： B=12?a 联立（7）（8）（9）式可得：
?1波函数：?(r)???sinn?r（,0?r?a）?2h2?2?aa；基态能量：E1=?0，（r?a）2ma2
8
（2） （4） （5） （6）
（7） （8） （9）
1.3.2 盒子势求解
例题3.2 一个电子被禁闭在一个三维无限深势阱中，三个平行于x，y，z轴分别长为L，
0?x、y、z?L?0，V(x)??㈠写出相应的Schr?dinger方程； ㈡写出相应于能及的时间无关波函
??,otherwise数；
解：①由题意可得Schr?dinger方程为：
r??h22r??r,t;0?x、y、z?L?ih?r,t?? （3.2.1） 2m??t?0;otherwise?r②求解方程（3.2.1）要对其进行分离变量：?r,t?X(x)Y(y)Z(z)T(t)，依次求解出问题中的
??????rX(x)Y(y)Z(z)，则可得到?r。而每一维的求法又与一维无限深势阱的求法相同。可得：
??r波函数：?nlm(r)?2n?x2l?y2m?zsin?sin?sin （3.2.2） LLLLLL能级：Enlm??2h22mL(n2?l2?m2) （3.2.3）
注：这里的（3.2.2）式相乘（3.2.3）式相加的形式源于分离变量。
例题3.3（2010年）当x，y，z的长度不等时，如x=a，y=b，z=c（a r波函数：?nlm(r)?2n?x2l?y2m?zsin?sin?sin aabbcc能级：Enlm l2m2?(??) 2mabc?2h2n2 1.4 两个角动量算符有关题目求解 1.4.1 轨道角动量算符 例题4.1（2011年）设体系处于归一化波函数???,???c1Y11?c2Y20所描述的状态之中，设 9 222μ的可能取值，相应的几率及平均值；㈡$c1?c2?1求：㈠LL的可能取值，相应的几率及平均z值。 2μ$解：①Lz和L的共同本证函数是球谐函数，那么由题意可得： l1?1,m1?1； l2?1,m2?0 (4.1.1) μ的可能取值为：h、0，相应几率为：c2、c2，并由此可得Lμ的平均值为：Lμ?c2h 则L12zzz1②由（4.1.1）式得： 222222$$L的可能取值为：2h，6h，相应几率为：c1、c2，并由此可得L的平均值为： 2222$L?2c1?6c2h2?2?4c2h2 ???? 例题4.2（2010年）两个粒子角动量分别是l1?2、l2?5，当它们耦合在一起时，请问它们角动量之间的夹角可能是多少？ μ?L?，如图2所示且 L?L解：耦合的角动量：$12l?(l1?l2),(l1?l2?1),LLl1?l2 那么l的可能取值为：7、6、5、4、3；相应的角度如下： 图2 角动量耦合示意图 1,当l?7时，??0；当l?3时，???； 7； 2013,当l?5时，????arccos； 5134,当l?4时，????arccos。 202,当l?6时，??arccos 2μ$例题4.3（2010年）在轨道角动量算符Lz和L的共同本征函数Ylm(?,?)下，求下列期望值： ?、L?、L?L?、L?2、L?2 Lxyxyxy??L?Lμμ?解：①由对易关系： ihL xyz?LzLy （4.3.1） 联立（4.3.1）式，并由球谐函数的正交归一性可得： ??1YL?Lμμ?Lxlmyz?LzLyYlm ih1?LμY?1YLμL??YlmLyzlmlmzyYlm ihih10 mh??mh??Y （4.3.2）?YlmLyYlm?YlmL ylmihih???0。 考虑到m?为实数，则（4.3.2）式为零。即Lx??0 ②同理，由①的结果类推，可以知道：Ly??L??iL?，L??L??iL? （4.3.3）③引入角动量升降算符：L ?xy?xy??l,m?L,lm由(4.3.3)式得： L?h??(?l)m?(l?m1) 0 （4.3.4） ,lm|?,l?m122???同理可得： L?=0，L?=0，L?=0 （4.3.5） 222????L???由（4.3.5）式可得： L? ?Lx?Ly?iLxy?iLyLx?0 （4.3.6）22???L???注意到Lx，Ly，Lxy+LyLx均为厄米算符，其期望值为实数，故由（4.3.6）式可知： 22???L???Lx=Ly；Lxy+LyLx=0 （4.3.7） μ?L?L???再由对易关系ihLzxy?LyLx，联立（4.3.7）式，可得： ?L? ?imh Lxy22222$??μμ????④已知ihLz?LxLy?LyLx，联立L?Lx?Ly?Lz，可知： 22222??$μLx?Ly?L?Lz=l(l?1)h2?m2h2 （4.3.8） ?联立（4.3.7）（4.3.8）两式得： Lx 221222? l(l?1)h?mh??Ly=???21.4.2 自旋角动量算符 uv例题4.4（2003年）只考虑自旋运动，设电子处于恒定均匀磁场B?(0,B,0)中，t=0时刻处于态ur$uurur1???2?0S?$?(0)???下，已知电子自旋磁矩算符Ms?这里?0是玻尔磁子，S是自旋算符，求在t >0 0h??时刻： 11 ㈠电子自旋态?(t)； ㈡自旋期望值Sx(t)、Sy(t)、Sz(t)； ㈢电子自旋向上（Sz?hh）和向下（Sz??）的几率比。 22解：①电子自旋态?(t)随时间演化的方程是： ???(S,t) （4.4.1） ?(Sz,t)?Hsz?tururμμ?式中，Hs不含空间变量，只含自旋变量，已知电子的自旋磁矩为：????B?，?B是玻尔磁子， ih则： uruvμ?? （4.4.2） Hs????B??BB?y再设t时刻，电子的自旋态?(Sz,t)???a(t)??，则将方程（4.4.1）在Sz表象中用矩阵表述为： ?b(t)??0?i??a(t)???a(t)?ih????BB???? （4.4.3） i0b(t)?t?b(t)?????求解方程（4.4.3）得： ?BB?&a(t)??b(t)???b(t)??BB?h其中， ????B?&?b(t)?Ba(t)??a(t)??hi?t?i?t??a(t)?c1e?c2e （4.4.4） ?i?t?i?t??b(t)??ic1e?ic2e将（4.4.4）代入初始条件：?(0)???，得到：?(Sz,t)??②由量子力学的平均值公式可知： ?1??0??cos?t?? （4.4.5） sin?t????(S,t) （4.4.6） ?x(t)???(Sz,t)?xz将（4.4.5）代入（4.4.6）得：Sx(t)???sin(2?t)，同理，Sy(t)?0，Sz(t)?cos(2?t)。 22μ的本证函数完全集??③将?(Sz,t)按Sz??展开： ?(Sz,t)???cos?t??1??0?cos?t?sin?t=????=(cos?t)??(sin?t)? （4.4.7） ??0??1??sin?t?222由上式可得：自旋向上的几率：(cos?t)，自旋向下的几率(sin?t)，两者的比之为：cot(?t)。 12