?11110??10?1?1?1?????21? ......2分 A??01221???012?12331??00000??????可知r(A)?r(A)?2＜＜4，方程组有无穷多解 ......4分
??x1??1?x3?x4由同解方程组?
x?1?2x?2x34?2求出方程组的一个特解?*?(?1,1,0,0)T,
导出组的一个基础解系为?1?(1,?2,1,0)T,?2?(1,?2,0,1)T ......7分 从而方程组的通解为
?*?c1?1?c2?2?(?1,1,0,0)T?c1(1,?2,1,0)T?c2(1,?2,0,1)T
(c1,c2为任意常数） ......9分
21.解 由条件可知矩阵A的特征值为?1?1,?2??3?2 ......2分
0 由E?A??11?11?x?1?0，得x?1 ......4分
0?2?x?1对于?1?1，由线性方程组(E?A)x?0求得一个特征向量为
?1?(?1,1,1)T
对于?2??3?2，由线性方程组(2E?A)x?0求得两个线性无关的特征向量为
?2?(1,0,1)T,?3?(0,1,1)T
??110????1P?(?,?,?)?101令??,则PAP?B ......9分 123?111????101???22.解 二次型的矩阵A??020? ......2分
?101?????1由?E?A?0?10?(??2)2??0 ??1线性代数试卷第 6 页共 20页
0?1??20
故A的特征值为?1??2?2,?3?0 ......4分 对于?1??2?2，求解齐次线性方程组(?A)x?0，得到基础解系
?3?(?1,0,1)T
12,0,12)T ......7分
将其单位化，得?3?(??0?令P?(?1,?2,?3)??1??0??x1???经正交变换?x2???x??3?10122?1?2?0?,则P为正交矩阵，
?1?2??y1???2P?y2?，化二次型为标准形2y12?2y2 ......9分 ?y??3?四、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组?1,?2,?3线性相关，故存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得 k1?1?k2?2?k3?3?0 ......2分 其中必有k1?0。否则，如果k1?0，则上式化为k2?2?k3?3?0
其中k2,k3不全为零，由此推出?2,?3线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分 类似地，可证明k2?0,k3?0 ........7分
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试卷
课程代码：04184
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
线性代数试卷第 7 页共 20页
1、设行列式D1=
a1a2b1b2，D2=
a1a22b1?3a12b2?3a2，则D2= 【 】
A.-D1 B.D1 C.2D1 D.3D1 2、若A=???10x??202???，B=??42y??，且2A=B，则 【 】 211???? A.x=1，y=2 B.x=2，y=1
C.x=1，y=1 D.x=2，y=2
3、已知A是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的是 【 】
?100??100??100??100????????? A.?000? B.?010? C.?000? D.?010?
?000??000??001??001?????????
4、设2阶实对称矩阵A的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E+A）x=0的基础 解系所含解向量的个数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 5、矩阵????31?? ?有一个特征值为 【 】1?3?? A.-3 B.-2 C.1 D.2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
?16、设A为3阶矩阵，且A=3，则3A= .
?21?*
7、设A=??35??，则A= .
??8、已知A=???10??1?11????，B=，若矩阵X满足AX=B，则X= . ????21??112?9、若向量组?1?(1，2，1)T，?2?(k-1，4，2)T线性相关，则数k= .
?x1?2x2?ax3?0?10、若齐次线性方程组?2x1?x2?x3?0有非零解，则数a= .
?3x?x?x?023?111、设向量?1?(1，-2，2)T，?2?(2，0，-1)T，则内积（?1,?2）= . 12、向量空间V={x=(x1，x2，0)T|x1，x2?R}的维数为 .
13、与向量（1，0，1）T和（1，1，0）T均正交的一个单位向量为 . 14、矩阵???12??的两个特征值之积为 . ??23?线性代数试卷第 8 页共 20页
15、若实二次型f(x1，x2，x3)=x1?ax2?a2x3?2x1x2正定，则数a的取值范围是 .
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
222211116、计算行列式D=
131111411115的值.
17、设2阶矩阵A的行列式A?
1?1*，求行列式(2A)?2A的值. 2?010??1?1?????18、设矩阵A=??111?，B=?20?，矩阵X满足X=AX+B，求X.
??10?1??5?3?????
线性代数试卷第 9 页共 20页
19、求向量组?1?(1,2,1)T,?2?(2,5,1)T,?3?(?1,3,?6)T,?4?(3,?1,10)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
?x1?ax2?a2x3?3a2?20、利用克拉默法则解线性方程组?x1?bx2?b2x3?3b2，其中a,b,c两两互不相同.
?22x?cx?cx?3c123?
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