?1a1??000?????21、已知矩阵A??a31?与B??010?相似，求数a,b的值.
?111??00b?????
22、用正交变换化二次型f(x1,x2)?5x1?5x2?4x1x2为标准型，并写出所作的正交变换.
四、证明题（本题7分）
23、设A，B均为n阶矩阵，且A=B+E，B2=B，证明A可逆.
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）
1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6. 9 7.??
?5?1?? ???32??1?11?8.???130?? 9. 3 ?? 10. -2 11. 0
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12. 2 13.
13??1,1,1?T或?13??1,1,1?T
14. -1 15.a＞1 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
1216.解 D=?11 =231113011411131110?5?1?1 ??10?23050?2045?1?120?74 41*?1，所以A可逆，于是A?AA 217.解 由于A? 故(2A)?1?2A*?1?1A?2AA?1 22139?3? =A?1?A?1?A?1???A?1?
222?2? 18.解 由X?AX?B，化为?E?A?X?B，
21??1?10??0????1?1 而E?A??10?1?可逆，且?E?A????321?
3??10??2???0?11?21??1?1??3?1??0?????1? 故X???321??20???20?
3???????0?11??5?3??1?1??12?13??10?1117????????,?,?,??015?7?015?719.解 由于1234????
?0?1?57??0000????? 所以向量组的秩为2，?1,?2是一个极大线性无关组，并且有
?3??11?1?5?2,?4?17?1?7?2
注：极大线性无关组不唯一。
20. 解 方程组的系数行列式
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1aa2 D=1bb2??b?a??c?a??c?b? c2aa213a2bb2?0，D2?13b2cc213c2a2b2?0， c21c 因为a,b,c两两互不相同，所以D?0，故方程有唯一解。
3a2 又D1?3b23c21a3a2 D3?1b3b2?3D
1c3c2由克拉默法则得到方程组的解 x1?DD1D3D?0,x2?2?0,x3?3??3 DDDD21.解 因为矩阵A与B相似，故
?trB trA即?且
A?B,
?1?3?1?0?1?b 2??a?1??0?52??? 25?? 所以a=1,b=4. 22. 解 二次型的矩阵A??? 由于?E?A????3????7?，所以A的特征值?1?3,?2?7 对于特征值?1?3，由方程组?3E?A?x?0得到A属于特征值?1?3的一个单位特征向量?1?2?1? ?????12??对于特征值?2?7,由方程组?7E?A?x?0得到A属于特征值?2?7的一个单位特征向量
?2?2?1?. ????2?1?得正交矩阵Q???1,?2??22?11????，作正交变换x?Qy， ?112???2二次型化为标准形f?3y1?7y2.
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四、证明题（本题7分）
223.证 因为A?B?E,所以A?E?B,又B?B,
故?A?E??A?E,
2 化简得 A2?3A??2E,于是A???1?A?3E???E,故A可逆。 ?2??2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数(经管类) 试卷
(课程代码04184)
本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。 3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。
T*
说明：在本卷中。A表示矩阵A的转置矩阵。A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵， ︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
第一部分 选择题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。
1．已知2阶行列式
A．-2 B．-l C．1 D．2
3．设向量组 正确的是 A．若s≤t，则 B．若s≤t，则 C．若 D．若
可由向量组线性表出，则下列结论中
必线性相关 必线性相关
线性无关，则s≤t 线性无关，则s≤t
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4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是
A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=
第二部分 非选择题
二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。
6．设行列式中元素aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．
2
7．已知矩阵，则A+2A+E=___________．
8．设矩阵9．设向量
，若矩阵A满足AP=B，则A=________．
，
线性表出的表示式为=____________．
，则
由向量组
10．设向量组a1=(1，2,1)，a2=(-1，1，0)，a3=(0，2，k)线性无关，则数k的取值应
满足__________．
11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为
TTT
若该方程组无解，则数k=_________． 12．设
=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．
13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________．
14．设向量a1=(1，-l，0)，a2=(4，0，1)，则
15．二次型f(x1，x2)=-2x1+x2+4x1x2的规范形为__________． 三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。
2
2
TT
=__________．
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