布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[?]。
题4-13图
解：1.轴的强度条件
在截面A处的扭矩最大，其值为
Tmax1?ml
由该截面的扭转强度条件
?Tmax1?max1W?16ml3?[η] p1πd1得
d316ml1?π[η] BC段上的最大扭矩在截面B处，其值为
Tmax2?ml2
由该截面的扭转强度条件得
d316ml2?2π[η] 2．最轻重量设计 轴的总体积为 V?ππ2π16ml16ml22/34d2(l?l4d2/312)?2l2?4[(π[η])(l?l2)?(π[η])l2]
根据极值条件
dVdl?0 2得 ?(16ml2/316m2/35π[?])?(π[?])?3l2/32?0 由此得 l33/22?(5)l?0.465l
从而得
l?(31?l?l2?[15)3/2]l?0.535l
46
(a)
(b)
(c)
d2?(16m1/31/331/2316ml)?l2?()?0.775d1 π[?]5π[?](d)
该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。
4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径
D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[?]= 480MPa，试校核弹簧的强度。
解：由于
故需考虑曲率的影响，此时，
m?D40??5.71?10 d7
8FD(4m＋2）8?1.00?103?0.040?(4?5.71?2)N?max?3? πd(4m?3)π?0.0073?(4?5.71?3)m2 ?3.72?108Pa?372MPa结论：?max?[?]，该弹簧满足强度要求。
4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为?，横截面A与
B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为
?A/B?2Ml（dA?dB) 22πG?dAdB
题4-20图
证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为 式中，
截面x的极惯性矩为 依据
d?dA11R0(x)?(dA?Bx)?(dA?cx)
2l2c?dB?dA l1πδ3Ip?2πR0??2π? [(dA?cx)]3?(dA?cx)3
24 47
得截面A和B间的扭转角为
d?T(x)4M??3 dxGIpGπ? (dA?cx)4M?A/B?πG?
??2Ml112Ml(dA?dB)
?(2?2)?2πGδ (dB ?dA)dBdAπGδd2AdBd(dA?cx)?2M?2l?(d?cx)| 0A 0c(d?cx)3πGδcA l4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度
为已知常数。
题4-21图
(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。
设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知
由?Mx?0可得 即
MA?MB
MA?MB?2MA?2M
MA?MB?M
(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图4-21b。
变形协调条件为
图4-21b
48
利用叠加法，得
?B?0
(a)
?B?MaM(2a)MB(3a)?? GIpGIpGIp(b)
将式(b)代入式(a)，可得 进而求得
1MB?M
31MA?M（转向与MB相反）
3(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到
MA?MB?ma 2MA和MB的转向与m相反。
(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，
MB的转向与m相反。
变形协调条件为
利用叠加法，得到（x从左端向右取）
?B?0
(c)
?B??B,m??B,MB?? am(a?x) 0GIpMB(2a)ma22MBa dx???GIp2GIpGIp(d)
将式(d)代入式(c)，可得 进而求得
MB?ma 43ma 4MA?ma?MB?MA的转向亦与m相反。
4-22 图示轴，承受扭力偶矩M=400N?m与M=600N?m作用。已知许用切应力
1
2
[?]=40MPa，单位长度的许用扭转角[?]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。
49
题4-22图
解：1.内力分析
此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图4-22a。
利用叠加法，得
图4-22
?B?1[400?0.500?600?1.250?MB?2.500] GIp将其代入变形协调条件?B?0，得
(600?1.250?400?0.500)N?m2MB??220N?m
2.500m该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，
Tmax?380N?m
将其代入扭转强度条件，
由此得
?max?Tmax16Tmax??[?] Wpπd316Tmax316?380m3d???0.0364m?36.4mm 6π[?]π?40?1033.由扭转刚度条件求d
将最大扭矩值代入
50