题3-22图
解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。
图3-22
由图a可得平衡方程 ?Fx?0，F3N1?2FN2 ?Fy?0， 12FN2?FN3?F 由图b得变形协调方程为 Δl?l1ctan30?Δ2sin30??Δl3 根据胡克定律，有 ΔlF?F1?N1l1N1l1A， ΔlFlFlΔlFlFl2?N22?N21， 3?N33?N31EAA 112E13E2A23E2A3E3A33E33将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为 15FN1?32FN2?8FN3
联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得
FN1?22.6kN(压)， FN2?26.1kN（拉）， FN3?146.9kN（拉）
根据强度要求，计算各杆横截面面积如下： AFN122.6?103221?ζ?m?5.65?10?4m?565mm2[6 1]40?10A?FN2?26.1?103m2?42[ζ]60?106?4.35?10m2?435mm2 231
(a) (b)
(c)
(d)(c')
FN3146.9?1032A3??m?1.224?10?3m2?1224mm2 6[ζ3]120?10根据题意要求，最后取
A1?A2?2A3?2450mm2
3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C
点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移?y???????mm，试确定载荷F与各杆轴力。
题3-23图
解：1. 求解静不定
在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。
由平衡方程?MA?0，得
FN1?FN2?F?0 2(a)
由变形图中可以看出，变形协调条件为
根据胡克定律，
?l1?2?l2
(b)
Δl1?FN1lFl, Δl2?N2 EAEAFN1?2FN2
(c)
将上述关系式代入式（b），得补充方程为
联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得
FN1?4F2F , FN2?55(d)
2. 由位移?y确定载荷F与各杆轴力
变形后，C点位移至C’(CC’?AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移?，因此，
32
C点的总位移为?
?又由于 由此得
??CC'?AC?l1?2?l1?AB??2?y
?l1??y
将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得
F?5EA?y4l5(200?109Pa)(100?10?6m2)(0.075?10?3m)4??1.875?10N ?34(100?10m)并从而得
FN1?1.5?104N, FN2?7.5?103N
3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。
2
试在下列两种情况下确定杆端的支反力。
(a) 间隙?=0.6 mm； (b) 间隙?=0.3 mm。
题3-24图
解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为
(200?103N)(1.5m)Fa?F???0.57mm
EA(210?109Pa)(2500?10?6m2) 当间隙?=0.6 mm时，由于?F??，仅在杆C端存在支反力，其值则为
FCx?F?200 kN
当间隙?=0.3 mm时，由于?F??，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。
杆的平衡方程为
图3-24
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补充方程为 由此得
F?FBx?FCx?0
FaFBx?2a??? EAEAFBx?F?EA?22a
9?62200?103N(0.0003m)(210?10Pa)(2500?10m) ???47.5 kN22(1.5m)
而C端的支反力则为
FCx?F?FBx?200 kN?47.5 kN?152.5 kN
3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x
处的温度增量为?T??TBx2/l2，式中的?TB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与?l。试求杆件横截面上的应力。
题3-25图
解：1.求温度增高引起的杆件伸长
此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长
全杆伸长为
αlΔTBx2d(Δlt)?αlΔTdx?dx
l2 lαlΔTBx22Δlt?? 0ldx?αlΔTBl 32．求约束反力
设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为
由变形协调条件
ΔlF?FNlFl ?EAEAΔlF?Δlt
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可得
F?3．求杆件横截面上的应力
EAαlΔTBlEAαlΔTB ??l33FNFEαlΔTB ??AA3ζ?3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为?。如使杆端B与节点
G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。
题3-26图
解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，
杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。
根据平衡条件，由图a可得 由图b可得
图3-26
FN1?FN2?FN3
(a)
FN4?FN5 ， FN3?2FN4cos30??3FN4
Δl1Δl4??Δl3 cos60?cos30?(b)
变形协调关系为(参看原题图)
依据胡克定律，有
将式(d)代入式(c)，得补充方程
Δ?(c)
Δli?FNili (i?1~5) EA(d)
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