人工计算时，通常当试算的r0使前后两次试算的f值之差足够小，一般不超过5％时，可近似求出r0。内插公式为r=r1+(r2-r1)r0—一内部收益率； r1一较低的试算折现率； r2—较高的试算折现率； NPV1一与r1对应的净现值 NPV2—与r2对应的净现值
例题：已知某方案第零年和第一年分别投资1000元和800元，第2、3、4年均收益500元，第5年收益1200元。试计算该方案的内部收益率。
先取r1＝12％，有NPV（r1）＝39元>0； 提高r，取r2＝14％，有NPV（r2）=-60.5元<0； 内插求r。IRR=12.78％ 2．计算机编程计算法
对于复杂的技术方案，采用人工试算法求内部收益率很费时间，而且也不精确。若利用计算机求解，就十分容易。用计算机编程求解，多依据牛顿迭代公式：
Xn?1?Xn?f(xn) 用计算机编程求解内部收益率的程序框图如图4 f?(xn)NPV1
NPV1+NPV2
(三)内部收益率方程多解的讨论
一元n次方程应该有n个解，即有n个根(包括重根)，其中正实数根才有可能是项目的内部收益率，而负根无经济意义。如果方程只有一个正实数根，则该
根必是项目的内部收益率；如果方程有多个正实数根，则须经过检验符合内部收益率的经济含义(即在项目的寿命期内，如果按i＝IRR来计算各年的净现金流量，会始终存在未能收回的投资，只有到项目寿命期末投资才能全部收回。也就是此时的净现金流量刚好等于零)的根才是项目的内部收益率。
一元n次方程的正实根数目可用笛卡尔符号规则进行判断，即正实数根的个数不会超过项目净现金流量序列(也就是多项式系数序列)正负号变化的次数。例如，表4—9中有4个项目，可分别用笛卡尔符号规则判断其正实数根的数目。
项目A：只有一个正实根，故其为内部收益率。 项目B：只有一个正实根，故其为内部收益率。
项目C：符号变化三次，只可能有3个正实根。经计算，r1>0；r2<0；r3<0。故r1是内部收益率。
项目D：项目净现金流量序列符号变化三次，故最多只有三个正实根。经计算得r1＝0.20，r2＝0.50，r3＝l三个正实根。但经验证，它们均不符合内部收益率的经济含义，所以都不是项目D的内部收益率。
?常规项目：符号只变化一次，先负后正 ?
?非常规项目：符号变化多次
对非常规项目，一般来说，内部收益率指标已失效，不能用内部收益率指标
来进行评价和选择。对非常规项目，通常可以采取对现金流量进行适当处理的办法。比如用设定折现率将某些年份的现金流量进行适当折算，使之转化为类似的常规项目，从而得到惟一解。不过，对原有现金流量进行处理后，必然导致项目的经济内容发生变化。
(四)内部收益率指标评价的优缺点 1．内部收益率指标评价的优点
①与净现值指标一样，内部收益率指标考虑了资金的时间价值．对项目进行动态评价，并考察了项目在整个寿命期内的全部情况。
②内部收益率是由项目的现金流量系数特征决定的，不是事先给定的。这与净现值、净年值、净现值率等指标需要事先设定基准折现率才能进行计算比较起来，操作困难小。因此，我国进行项目经济评价时往往把内部收益率作为最主要的指标。
2．内部收益率指标评价的缺点
①内部收益率指标计算繁琐，非常规项目有多解现象，分析、检验和判别比较复杂。
②内部收益率只适用于独立方案的经济评价和可行性判断，一般不能直接用于互斥方案的比较和选优。
③内部收益率不适用于只有现金流入或现金流出的项目。 (五)内部收益率与净现值的比较选择
NPV及和IRR都是反映投资项目经济效果的最主要的指标。两者之间仍有许多不同。从形式上看，一个反映项目的绝对经济效果，一个反映项目的相对经济效果。用这两个指标评价投资项目时，有时结论是一致的，有时则相矛盾，这就给评价者带来麻烦。所以，如果能够根据两者的特点进行有针对性的选择，那么，就能对投资项目的经济效益得出科学、恰当的评价。 1、从投资项目的目的考虑
对新建项目而言，通常希望它在整个经济寿命期内的盈利水平较高，并且还要同本行业的盈利状况进行比较，所以应着重考虑它的相对经济效果．故一般优先使用IRR法进行评价。而对老项目的改造或设备更新项目，投资者更关心能否维持或增加原有的盈利水平，所以通常优先选用反映项目绝对经济效果的NPV法。
2．从指标本身的特点考虑
①IRR不能反映项目的寿命期及其规模的不同，故不适宜作为项目优先排队的依据。而NPV则特别适用于互斥方案的评价。
②另外，我们还应考虑投资者的主观要求。例如，世界银行和亚洲发展银行认为，计算IRR法事先不必规定标准折现率，容易用复利法计算，而且IRR代表
了资本的收益性和周转能力，可看出资本运用的效率，所以偏重IRR法。而美国国际开发署却彻底否定IRR法，它规定只用NPV法，认为对项目的实施重要的并不是规定投资的下限，而是要确定投资的优先次序，故应用NPV法。
四、差额投资内部收益率(ΔIRR) (一)差额投资内部收益率的概念及计算式
差额投资内部收益率，又称增量投资内部收益率，为相比较的两个方案净现金流量差额的现值之和等于零时的折现率。计算公式为：
???(CI?CO)??CI?CO????1??IRR?2t?01tn?t?0
式中：ΔIRR——差额投资内部收益率；
(CI—CO)2——投资多的方案的年净现金流量； (CI—CO)1——投资少的方案的年净现金流量。 上式也可以拆成以下形式：
??CI?CO??1??IRR?t?02n?t???CI?CO?1?1??IRR??0
t?0n?t 根据上式，差额投资收益率也可解释为两个方案的净现值相等时的折现率。 采用差额内部收益率比较和筛选方案时，相比较的方案必须寿命期相等或计算期相同。由于差额内部收益率的计算式依然是一元n次方程，不易直接求解，故仍然采用与内部收益率相同的求解方法。
???IRR?ic，投资大的优两方案比较????IRR?ic，投资小的优 ? 评价准则?
?多方案比较?先按投资多少排序（从小到大）???两两比较，同上?用差额投资内部收益率对多方案进行评价和选优时，其前提是每个方案是可行的，或者至少排在前面、投资最少的方案是可行的。
例题：设有两个互斥方案，其寿命期相同，有关数据见下表。基准收益率为15％。试用差额投资内部收益率比较和选择最优可行方案。
单位：万元
方案 投资（第零年） 年收益 年支出 残值 使用寿命（年） A B
计算：（1）NPV（A）＝1072万元；NPV（B）=1027万元 故两个方案均可行
（2）设?IRR1?I1?12%i1 ,则
?NPV?i1?＝?6000?5000??2000?600?1600?400??（P/A，12%，10） +200（P/F，12％，10）＝66万元5000 6000 1600 2000 400 600 0 200 10 10 设?IRR2?i2?14%i2 ，则
?NPV?i2?＝?10万元 内插得?IRR?13.7%
五、费用效益率(B/C)
费用效益率，也称效益费用比,是用现金流入的现值和除以现金流出的现值和，计算公式为:
B/C=?CI(1+i)tt=0ntt=0n-t
?CO(1+i)-t?B/C?1.0,接受该项目 评价准则?
B/C?1.0，拒绝该项目?
六 简单投资收益率（ROI）
简单投资收益率是指项目投产后的年净收益与初始投资I0之比。记作ROI，计算公式为:ROI?R I0式中：R——年净收益； I0——项目的初始投资。