参考答案： 由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡，即(低质量, 高质量)， (高质量,低质量)。
乙企业 高质量 低质量 高质
50,50 100,800 量 甲企
业 低质
900,600 -20,-30 量
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡 Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得x?因此该问题的混合纳什均衡为((12856375,),(,))。 97971381381263 ,y?97138
17、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。试求出该博弈的纳什均衡。如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？
乙企业 开发 不开发 甲企开发 -10,-10 100,0 业 不开
0,100 0,0 发
解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。 ??10,?10100,0? ?0,0??0,100?所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发,不开发)和(不开发,开发)。 该博弈还有一个混合的纳什均衡((
101101,),(,))。 11111111如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位,则收益矩阵变为：
??10,?10?a100,0??0,0??0,100?a?,要使(不开发,开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需
a>10。此时乙企业的收益为100+a。
18、博弈的收益矩阵如下表： 乙 左 右 上 a，b c，d 甲 下 e，f g，h （1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？（尽量把所有必要的关系式都写出来）
（2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？ （3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什
么？
（4）在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在？
答：（1）a?e，c?g，b?d，f?h。本题另外一个思考角度是从占优策略均衡的定义出发。对乙而言，占优策略为(b,f)?(d,h)；而对甲而言，占优策略为
(a,c)?(e,g)。综合起来可得到所需结论。
a?e。（2）纳什均衡只需满足：甲选上的策略时，同时乙选左的策略时，b?d，故本题中纳什均衡的条件为：b?d，a?e。
（3）占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。
（4）当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。
19、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同， John给Smith 3美元，如果不同，Smith给John 1美元。 （1）列出收益矩阵。
（2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？
答：（1）此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和博弈，无纳什均衡。 John 1 2 3 1 3，-3 -1，1 -1，1 Smith 2 -1，1 3，-3 -1，1 3 -1，1 -1，1 3，-3 （2）Smith选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，
John选1的效用为：U1??(?3)??1??1?? John选2的效用为：U2??1??(?3)??1?? John选3的效用为：U3??1??1??(?3)?? 类似地，John选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， Smith选1的效用为：U1'??3??(?1)??(?1)? Smith选2的效用为：U2'??(?1)??3??(?1)? Smith选3的效用为：U3'??(?1)??(?1)??3?
'?U'，所以： 因为U1?U2?U3，U1'?U2313131313131313131313131313131313131313131313131311?111111?'U??U?是纳什均衡，策略值分别为John：；Smith：。 (,,),(,,)?333333?33??
20、假设双头垄断企业的成本函数分别为：C1?20Q1，C2?2Q22，市场需求曲线为P?400?2Q，其中，Q?Q1?Q2。
（1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反
应和等利润曲线，并图示均衡点。
（2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。
（3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。 答：（1）对于垄断企业1来说：
max[400?2(Q1?Q2)]Q1?20Q1190?Q2 ?Q1?2 这是垄断企业1的反应函数。
其等利润曲线为：?1?380Q1?2Q1Q2?2Q12 对垄断企业2来说：
2max[400?2(Q1?Q2)]Q2?2Q2Q1 ?Q2?50?4 这是垄断企业2的反应函数。
其等利润曲线为：?2?400Q2?2Q1Q2?4Q22 在达到均衡时，有：
Q??190??50?1?4??Q?80 ?Q1???12?Q2?30 均衡时的价格为：P?400?2?(80?30)?180 两垄断企业的利润分别为：
?1?380?80?2?80?30?2?802?12800
?2?400?30?2?80?30?4?302?3600
均衡点可图示为：
190 企业2 企业1的反应线 均衡点 0 95 企业1 200
（2）当垄断企业1为领导者时，企业2视企业1的产量为既定，其反应函数为：
Q2?50?Q1/4
则企业1的问题可简化为：
?Q???max?400?2?Q1?50?1??Q1?20Q14????
?Q1?280/3???Q2?80/3 均衡时价格为：P?400?2??28080????160 33?? 利润为：?1?39200/3，?2?25600/9 该均衡可用下图表示：
190 企业2 企业1的反应线 Stackelberg均衡50 企业2的反应线 0 95 企业1 200
企业2领先时可依此类推。
（3）当企业1为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。而企业2获得的利润较少。这是因为，企业1先行动时，其能考虑企业2的反应，并以此来制定自己的生产计划，而企业2只能被动地接受企业1的既定产量，计划自己的产出，这是一种“先动优势”
21、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q1-q2-q3，这里qi是企业i的产量。每一企业生产的单位成本为常数c。三企业决定各自产量的顺序如下：(1)企业1首先选择q1≥0；(2)企业2和企业3观察到q1，然后同时分别选择q2和q3。试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。
答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q1，第二阶段企业2和3观测到q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈进行求解。
（1）假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。设企业2，3的利润函数分别为：
?2?(a?q1?q2?q3)q2?cq2 ?3?(a?q1?q2?q3)q2?cq3
由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：
??2?a?q1?2q2?q3?c?0 （1） ?q2
??3?a?q1?q2?2q3?c?0 （2） ?q3a?q1?c （3） 3求解（1）、（2）组成的方程组有：
*q*2?q3?（2）现进行第一阶段的博弈分析：
对与企业1，其利润函数为； ?1?(a?q1?q2?q3)q1?cq1 将（3）代入可得：
?1?式（4）对q1求导：
??1?a?2q1?c?0 ?q1q1(a?q1?c)3 （4）
解得：
*q1?*?此时，?11(a?c) （5） 21(a?c)2 1211*(a?c),q*(a?c) 2?q3?26（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：
*q1?
25、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍， 市场需求函数为Q=200-P。
求（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？
（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？
答：（1）分别求反应函数，180-2Q1-Q2=0，180-Q1-2Q2=0，Q1=Q2=60 （2）200-2Q=20，Q=90，Q1=Q2=45