∴BC=FB?cos∠FBC=x，FC=FB?sin∠FBC=∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x， ∵AE⊥FE， ∴AE=AF?cosA=2﹣x， ∴OE=OA﹣AE=x+2， ∴OH=OE?cos∠AOB=x+1，EH=OE?sin∠AOB=∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x， x+， x）， ∵E、F都在双曲线y=的图象上， ∴（x+1）（x+）=（4﹣x）?x， 解得：x1=4，x2=， 当BF=4时，AF=0，当BF=时，AF=不存在，舍去； ，BF：AF=1：4． 点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键． 25．（14分）（2013?龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）求菱形ABCD的周长；
（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
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考点： 相似形综合题 分析： （1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长； （2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值； （3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考． 解答： 解：（1）在菱形ABCD中， ∵AC⊥BD ∴AD==50． ∴菱形ABCD的周长为200． （2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P． ①当0＜t≤40时，如答图1， ∵sin∠OAD===， ∴MP=AM?sin∠OAD=t． S=DN?MP=×t×t=t2； ②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t， ∵sin∠ADO===，∴MP=（70﹣t）． ∴S=DN?MP=×t×（70﹣t）=t2△DMN+28t=（t﹣35）2+490． ∴S= 当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480． 当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480． 17
综上所述，S的最大值为480． （3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON． 方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F， 则NF=ND?sin∠ODA=30×∴OF=12，∴tan∠NOD===24，DF=ND?cos∠ODA=30×=2． =18． 作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH． ∴S△ONF=OF?NF=S△OGF+S△OGN=OF?FG+ON?GH=（OF+ON）?FG． ∴FG===， ∴tan∠GOF===． 设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG ∴tan∠DPK=∴PK===． ， 根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′． ∴存在两个点P到OD的距离都是． 方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN． 过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H． 当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO， ∴，即． ∴NG=24，DG=18． 18
∵EF垂直平分OD， ∴OE=ED=15，EG=NH=3． 设OI=R，EI=x，则 222在Rt△OEI中，有R=15+x ① 222在Rt△NIH中，有R=3+（24﹣x） ② 由①、②可得： ∴PE=PI+IE=． 根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件． ∴存在两个点P，到OD的距离都是． （注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）．） 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解．
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