二、填空题：把答案填在题中的横线上. 18．（3分） 考点： 专题： 分析： = ﹣1 ．
二倍角的正切． 计算题；三角函数的求值． 由于=×，利用公式tan=即可求得答案． 解答： 解：∵tan====﹣1． 点评： 故答案为：﹣1． 本题考查二倍角的正切，考查观察与运用公式的能力，属于中档题． 19．（3分） 设直线的参数方程是 考点： 专题： 分析： 解答： 解：∵直线的参数方程为，那么它的斜截式方程是 ．
直线的参数方程． 直线与圆． 把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得 y﹣3=最后再化成斜截式方程即可． （x﹣2），从而得到直线的普通方程，（t为参数），消去参数化为普通方程可得y﹣3=（x﹣2），那么它的斜截式方程是 故答案为：． ． 点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线斜截式方程，属于基础题． 20．（3分） 如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（﹣8，0），那么它的内切圆方程是 （x+3）2+（y﹣3）2=9 ． 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 利用截距式求得AB的方程为 15x﹣8y﹣120=0．设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|=解答： ，求得a的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程． ，即 15x﹣8y﹣120=0． 解：利用截距式求得AB的方程为
设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|==， 点评： 21．（3分） 解得 a=﹣3，故圆心为（﹣3，3），半径为 3，故它的内切圆方程是 （x+3）2+（y﹣3）2=9，故答案为 （x+3）2+（y﹣3）2=9． 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于中档题． =
．
考点： 专题： 分析： 解答： 点评： 22．（3分） 考点： 专题： 分析： 解答：
极限及其运算；数列的求和． 计算题；导数的概念及应用． 首先利用列项相消法求出数列的和，然后取极限即可得到答案． 解： = = ==． 故答案为． 本题考查了列项相消法求数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是基础的运算题． 9192除以100的余数是 81 ． 二项式定理的应用． 计算题． 利用二项式定理展开9192，可得展开式中，除了最后一项992外，其余的项都能被100整除，故9192除以10的余数是 992．再用二项式定理展开 992=（10﹣1）92，可得992=﹣919=﹣10×100+81，从而得到答案． 解：由于9192=（100﹣9）92=+++…++， 在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于 =992除以100的余数， 而 992=（10﹣1）92=+++…++ +， 故992除以100的余数等价于 + 除以100的余数，
而 +=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余数是点评： 81， 故答案为 81． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题． 23．（3分） 已知三棱锥A﹣BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα= 考点： 专题： 分析： ．
解答： 二面角的平面角及求法． 计算题；作图题． 作出三棱锥A﹣BCD，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，从而得到二面角 A﹣BC﹣D的平面角，把三棱锥的高AH用体积和底面积表示，把斜高用△ABC的面积和边BC的长度表示，在直角三角形AHE中可求角α的正弦值． 解：如图，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD， 在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE， 根据三垂线定理可知，HE⊥BC， 所以∠AEH是二面角A﹣BC﹣D的平面角，则∠AEH=α， 由已知S△BCD=S2，三棱锥A﹣BCD的体积为V=，AE=2， ，AH=， sinα===． 所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为故答案为． ． 点评： 本题考查了二面角的平面角的求法，考查了锥体的体积公式，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题． 三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.
24． 已知关于x的方程2a2x﹣2﹣7ax﹣1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．
考点： 专题： 分析： 解答： 根的存在性及根的个数判断． 计算题． 先用待定系数法解出a的值再解指数方程即可求其余根． 解：由已知 2a4﹣2﹣7a2﹣1+3=0 2a2﹣7a1+3=0?a=或 a=3 当a=时，原方程就是 解得 或 故有 x=2 或x=1+log1/23 当a=3时，原方程就是 2?32x﹣2﹣7?3x﹣1+3=0 解得 或 3x﹣1=3 故有 x=1﹣log32 或 x=2 综上所述，当a=时，方程的另一个根是1+log1/23； 当a=3时，方程的另一个根是1﹣log32 本题主要考查了指数方程的解法，做题过程中注意指数运算律的应用． 点评： 25． 已知：平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β．求证：a∥α． 考点： 直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β．再由直线a⊥平面β，可得a∥c，根据直线和平面平行的判定定理，可得 a∥平面α． 解答： 证明：∵平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β． ∵直线a⊥平面β，∴a∥c． 而c?α，a?α， ∴根据直线和平面平行的判定定理，可得 a∥平面α． 点评： 本小题考查直线与平面、平面与平面的位置关系以及逻辑推理和空间想象能力，属于中档题． 26． 证明不等式 考点： 专题： 分析： （n∈N*）
用数学归纳法证明不等式． 证明题；转化思想． 证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可． 证法二：构造函数f（n）=，通过函数单调性定义证明f（k+1）解答： ＞f（k） 然后推出结论． 证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立； （2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+则 ＜2，
∴当n=k+1时，不等式也成立． 综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+证法二：设f（n）=那么对任意k∈*＜2， ． 都有： ∴f（k+1）＞f（k） 因此，对任意n∈N* 都有f（n）＞f（n﹣1）＞…＞f（1）=1＞0， ∴点评： ． 本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想． 27． 设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程． 考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）．由于点（﹣1，6）在抛物线上，代入可得2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．因此． 设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1），解答： 利用根与系数的关系、弦长公式即可得到a，p． 解：∵两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）． ∵点（﹣1，6）在抛物线上，∴2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．∴设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立∴x1+x2=∵|AB|=，x1x2=． ，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1） ． =，
∴∵a＞0，∴a=． ∴=16． =16×10，化为2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=． ∴抛物线的方程为点评： ． 熟练掌握抛物线的对称性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键． 28． 求同时满足下列两个条件的所有复数z： ①z+
是实数，且1＜z+
≤6；
②z的实部和虚部都是整数． 考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+解答： 为一个整体t，进行整体换元，得到 z2﹣tz+10=0，对于②利用求根公式解出 z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．解：设z+=t，则 z2﹣tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2﹣40＜0， 解方程得 z=± i． 点评：
又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6， 故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i． 本题考查一元二次方程在判别式小于0时的解法，体现了换元的思想．