2015-2016学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i，a，b∈R，则a+bi=（ ） A．2+3i B．﹣3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i 2．
=（ ）
A．10 B．15 C．60 D．20 3．设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则?=（ ） A．D．﹣5 （2，4，3） B．（3，4，4） C．9 4．函数y=
的导数为（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是（ ）
A．四个内角都大于90° B．四个内角中有一个大于90° C．四个内角都小于90° D．四个内角中有一个小于90°
456．若Cn=21，则n的值为（ ） ?CnA．8 B．7 C．6 D．5
7．有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（ ） A．2
6
33B．A66 C．A6 D．C6
8．在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，，所成角都相等的单位向量为（ ） A．（1，1，1） C．（
，
，
B．（，，） ）
D．（
，
，
）或（﹣
，﹣
，﹣
）
9．在（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中，x4的系数为（ ） A．C9+C9 B．C9-C9 C．C10+C10+C10
4
324141D．C10-C10-C10
43210．在空间直角坐标系中，A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，
z）（x，y，z∈R），若四点A，B，C，D共面，则（ ） A．2x+y+z=1 B．x+y+z=0 C．x﹣y+z=﹣4 D．x+y﹣z=0
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11．将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（ ） A．288 B．144 C．72 D．36
12．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）≥2k（k≥2，k∈N*）时，总有f（k﹣1）≥2k﹣1成立，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若f（1）≥2，则f（n）≥2n B．若f（4）＜16，则f（n）＜2n C．若f（4）≥16，则当n≥4时，f（n）≥2n D．若f（1）＜2，则f（n）＜2n
13．已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切（其中e为自然对数的底数），则
的取值范围为（ ）
D．[1，+∞） ， +
， +
这三个数的最大值
A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） 14．已知实数a，b，c∈（0，1），设+
为M，则M的最小值为（ ） A．5 B．3+2 C．3﹣2 D．不存在
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 15．设i为虚数单位，若ω=﹣+
i，则|ω|= ．
16．现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为 （用a，b表示） 17．设a≥0，若P=+，Q=+，则P Q（请用“＞”，“＜““=“符号填）
18．fx）=x3+ax2+bb∈R）fx） 设函数（（a，，当x=时，（取极小值0，则实数b= ．19．在60°的二面角α﹣l﹣β的棱l上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，AC⊥l．BD⊥l，若AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 ． 20．Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=计算Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，可以采用以下方法：构造等式：
（1+x）n，两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n?2n﹣1．类比上述计算方法，计算
Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn= ．
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21．有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习．
（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；
（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数．22．已知a∈R，且在（﹣
）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大．
（1）若a=1，求展开式中的常数项；
（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=14，且an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*）
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（1）求，，；
（2）由（1）猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．
24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=BC=2CD=2，AD=，PE=2BE． （1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
25．设a，b∈R，函数f（x）=ax+．g（x）=x2+b，
（1）若a=﹣3，b=0，求函数h（x）=f（x）?g（x）在区间（0，1]上的最值；
（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的最大值； （3）若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围．
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2015-2016学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i，a，b∈R，则a+bi=（ ） A．2+3i B．﹣3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i 【考点】复数相等的充要条件．
【分析】由已知条件再根据复数相等的充要条件即可得到a，b的值，则a+bi的答案可求． 【解答】解：由2+ai=b﹣3i，a，b∈R，
再根据复数相等的充要条件得：a=﹣3，b=2． 则a+bi=﹣3+2i． 故选：B． 2．
=（ ） B．15
C．60
A．10
D．20
【考点】排列及排列数公式． 【分析】根据排列公式计算即可． 【解答】解：
=5×4×3=60，
故选：C．
3．设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则?=（ ） A．D．﹣5 （2，4，3） B．（3，4，4） C．9 【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】由已知利用向量数量积公式直接求解． 【解答】解：∵空间向量=（1，2，1），=（2，2，3）， ∴?=1×2+2×2+1×3=9． 故选：C． 4．函数y=
的导数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】导数的运算．
【分析】直接利用导数的运算法则求解即可． 【解答】解：函数y=故选：D．
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的导数为：y′=．
5．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是（ ）
A．四个内角都大于90° B．四个内角中有一个大于90° C．四个内角都小于90° D．四个内角中有一个小于90° 【考点】数学归纳法．
“至少有一个”的否定是“没有一个”，【分析】运用反证法证明命题时，首先必须对结论否定，
即可得到假设．
【解答】解：用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时， 首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”， 即为“凸四边形的四个内角都小于90°”． 故选：C． 6．若CA．8
+CB．7
=21，则n的值为（ ） C．6
D．5
【考点】组合及组合数公式．
【分析】利用组合数公式求解求解． 【解答】解：∵C∴
+C
=21， +
=21，
由n∈N*， 解得n=6． 故选：C．
7．有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（ ） A．26
B．A
C．A
D．C
【考点】计数原理的应用．
【分析】先排老师，再选3个排在左边，右边的就确定，问题得以解决．
【解答】解：老师排在最中间，只需排好左右两边，先排左边，右边的顺序就确定了，有C63种排法 故选：D．
8．在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，，所成角都相等的单位向量为（ ） A．（1，1，1） C．（
，
，
B．（，，） ）
D．（
，
，
）或（﹣
，﹣
，﹣
）
【考点】空间向量的数量积运算．
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