【分析】设满足题意的向量为（x，y，z），由题意得到关于x，y，z的方程解之． 【解答】解：设所求的单位向量为=（x，y，z），则由与，，所成角都相等得到
，所以x=y=z，且x2+y2+z2=1，所以x=y=z=
故选D．
9．在（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中，x4的系数为（ ） A．CC．C
+C+C
B．C+C
﹣CD．C
﹣C
﹣C
或
；
【考点】二项式系数的性质．
【分析】先将多项式化简，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出各项系数即可．
【解答】解：∵（1+x+x2）（1﹣x）10=（1﹣x3）（1﹣x）9 ∴（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中含x4的系数为 （1﹣x）9的含x4的系数加上其含x的系数 ∵（1﹣x）9展开式的通项为Tr+1=C9r（﹣x）r
令r=4，1分别得展开式含x4，x项的系数为C94，C91， 故（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中含x4的系数为C94+C91， 故选：A．
10．在空间直角坐标系中，A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），若四点A，B，C，D共面，则（ ） A．2x+y+z=1 B．x+y+z=0 C．x﹣y+z=﹣4 D．x+y﹣z=0 【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间中的点的坐标．
【分析】利用空间向量共面的基本定理，列出关系式，化简求解即可． 【解答】解：∵A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），
∴=（0，1，﹣1），=（﹣2，2，2），=（x﹣1，y﹣1，z+2）， ∵四点A，B，C，D共面，
∴存在实数λ，μ使得， =λ+μ，
∴（x﹣1，y﹣1，z+2）=λ（0，1，﹣1）+μ（﹣2，2，2），
∴，解得2x+y+z=1，
故选：A．
11．将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（ ） A．288 B．144 C．72 D．36
【考点】排列、组合及简单计数问题．
第6页（共17页）
【分析】由题意知1与2相邻，相邻用捆绑法，3和4不相邻，利用插空法，可得结论． 【解答】解：先把1和2捆绑在一起，看做一个复合元素再和5，6全排，形成了4个空，将3，4插入其中，
故有A33A22A42=144个． 故选：B．
12．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）≥2k（k≥2，k∈N*）时，总有f（k﹣1）≥2k﹣1成立，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若f（1）≥2，则f（n）≥2n B．若f（4）＜16，则f（n）＜2n C．若f（4）≥16，则当n≥4时，f（n）≥2n D．若f（1）＜2，则f（n）＜2n 【考点】反证法．
【分析】根据条件的递推关系，利用反证法进行判断即可．
【解答】解：若f（n）＜2n假设f（n）＜2n，不成立，则f（n）≥2n，
根据递推条件得f（n﹣1）≥2n﹣1成立，…f（2）≥22，f（1）≥2成立，与f（1）＜2，矛盾，
故假设不成立，
故若f（1）＜2，则f（n）＜2n成立，即D是真命题， 故选：D
13．已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切（其中e为自然对数的底数），则
的取值范围为（ ）
D．[1，+∞）
A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】设切点为（m，n），求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可n的方程，t∈3）得m，化简可得b=1﹣a，代入所求式子，令t=3﹣a，（2，，可得
=
=t+﹣6，运用对勾函数的单调性，可得所求范围． 【解答】解：设切点为（m，n）， 由y=ex﹣b的导数为y′=ex﹣b， 直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切， 可得em﹣b=1，n=m+a=em﹣b， 即有m=b=1﹣a， 即a+b=1，（a，b∈（0，1））， 则
=
=
，
令t=3﹣a，t∈（2，3），即a=3﹣t， 可得
=
=t+﹣6，
第7页（共17页）
由t+的导数为1﹣由2＜t＜3，可得1﹣
， ＜0，
则t+在（2，3）递减， 可得t+∈（6，则
），
的取值范围为（0，）．
故选：A．
14．已知实数a，b，c∈（0，1），设+
， +
， +
这三个数的最大值
为M，则M的最小值为（ ） A．5 B．3+2 C．3﹣2 D．不存在 【考点】基本不等式． 【分析】由题意可得+
≤M， +
≤M， +
≤M，由不等式的可加性和
乘1法和基本不等式，可得最小值． 【解答】解：由题意可得+即有3M≥+
++
≤M， +++
=（+
≤M， +）+（+）=3+
≤M， ）+（++
），
由0＜a＜1，可得+=[a+（1﹣a）]（+
≥3+23+2
；
=3+2．当且仅当a=（1﹣a），即a=2﹣时，取得最小值
同理可得++
在c=2﹣
在b=2﹣时，取得最小值3+2
．
；
时，取得最小值3+2
则3M≥3（3+2）．即M≥3+2．
可得M的最小值为3+2． 故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 15．设i为虚数单位，若ω=﹣+
i，则|ω|= 1 ．
【考点】复数求模．
【分析】直接由复数求模公式计算得答案．
第8页（共17页）
【解答】解：由ω=﹣+则|ω|=
i， ．
故答案为：1．
16．现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为 aa，ab，bb （用a，b表示） 【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意可知，所有的排列为aa，ab，bb，问题得以解决．
【解答】解：现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为 aa，ab，bb，
故答案为：aa，ab，bb
17．设a≥0，若P=+，Q=【考点】不等式比较大小． 【分析】平方作差即可得出． 【解答】解：∵Q2﹣P2=2a+8﹣2
＞0，
∴Q2＞P2，
∵a≥0，∴P，Q＞0． ∴Q＞P．
故答案为：＜．
18．设函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，则实数b= 【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】根据函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，得到f′（）=
+a=0，f（）=
+
a+b，即可求出b．
．
+
，则P ＜ Q（请用“＞”，“＜““=“符号填）
﹣=2（﹣
【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，
∵函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0， ∴f′（）=∴a=﹣2，b=故答案为：
第9页（共17页）
+a=0，f（）=． ．
+a+b，
19．在60°的二面角α﹣l﹣β的棱l上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，AC⊥l．BD⊥l，若AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 2 ． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】利用已知条件确定＜
＞120°，利用
=
，通
过向量的数量积的运算求出CD的距离．
【解答】解：由已知，可得AC⊥AB，BD⊥AB， ∵二面角的大小为60°， 则＜，＞=60°． ∴＜∴=
=+
+
+2
＞=120°，
+2
+2
=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．
=2∴．
故答案为：2
20．Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=计算Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，可以采用以下方法：构造等式：
（1+x）n，两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n?2n﹣1．类比上述计算方法，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn= n（n+1）?2n﹣2 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】构造等式：Cn1x+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n（1+x）n﹣1，两边对x求导，两边同乘以x，再两边求导后赋值即可．
【解答】解：构造等式：Cn1x+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n（1+x）n﹣1， 两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1， 两边同乘以x，得xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=nx（1+x）n﹣1，
再两边求导，得Cn1+22Cn2x2+32Cn3x3+…+n2Cnnxn=n[（1+x）n﹣1+（n﹣1）x（1+x）n﹣2] 令x=1，得Cn1+22Cn2x2+32Cn3x3+…+n2Cnnxn=n（n+1）?2n﹣2， 故答案为：n（n+1）?2n﹣2．
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21．有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习．
（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；
（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数．
第10页（共17页）