【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】（1）每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得，
（2）3门课程让甲乙先选一门，再剩下的3人每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得．
【解答】解：（1）由题意得每位同学有3种选课方法，由分步计数原理，得一共有35=243种，
3门课程让甲乙先选一门，（2）再剩下的3人每位同学有3种选课方法，得一共有C3133=81种
22．已知a∈R，且在（﹣
）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大．
（1）若a=1，求展开式中的常数项；
（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值． 【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质． 【分析】（1）由题意可得（﹣1）r?
=
最大，∴n=9，再根据a=1，通项公式 Tr+1=
?
?
，令x得幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项．
（2）展开式中的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r=4，利用通项公式可得展开式中x3的系数，再根据次系数为 63，求得a的值． 【解答】解：（1）∵在（﹣=
最大，∴n=9，
?
?（﹣1）r?
，令9﹣
=0，求得
）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大，∴
a=1，根据展开式中的通项公式 Tr+1=r=6，
故展开式的常数项为
?
=
． ??
（2）展开式中的通项公式 Tr+1=求得r=4，故展开式中x3的系数为
?（﹣a）r?
中，令9﹣=3，
?（﹣a）4=63，求得a=±2．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=14，且an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*） （1）求
，
，
；
（2）由（1）猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法． 【分析】（1）可令n=1，2，3，代入已知等式，结合a1=S1；an=sn﹣sn﹣1（n＞1），计算即可得到所求值；
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（2）猜想可得数列{}的通项公式
=n2（n∈N*）．运用数学归纳法证明．验证当n=1
时，等式成立；再假设n=k（k∈N*），﹣Sk，化简整理，即可得证．
=k2成立，证明当n=k+1时，结合假设和ak+1=Sk+1
【解答】解：（1）an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*）， 可得n=1时，a1=S1=（+1）S1﹣1， 解得S1=2，即有
=1；
n=2时，a2=S2﹣S1=（+）S2﹣2=14， 解得S2=16，
=4；
n=3时，a3=S3﹣S2=（+）S3﹣22， 解得S3=72，
=9；
=n2（n∈N*）．
（2）由（1）猜想可得数列{下面运用数学归纳法证明． ①当n=1时，由（1）可得②假设n=k（k∈N*），
}的通项公式为
=1成立；
=k2成立，
）Sk+1﹣2k+1﹣1，
当n=k+1时，ak+1=Sk+1﹣Sk=（+即有（﹣则
）Sk+1=Sk﹣2k=2k?k2﹣2k=（k2﹣1）?2k，
Sk+1=（k+1）（k﹣1）?2k，
当k=1时，上式显然成立；
当k＞1时，Sk+1=2（k+1）2?2k=（k+1）2?2k+1． 即
=（k+1）2，
则当n=k+1时，结论也成立． 由①②可得对一切n∈N*，
=n2成立．
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24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=BC=2CD=2，AD=，PE=2BE． （1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出PC⊥AD，从而AD⊥平面PCD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD． （Ⅱ）取AB的中点F，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABC，AD?平面ABCD， ∴PC⊥AD，
又CD⊥AD，∴AD⊥平面PCD， 又AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PCD． 解：（Ⅱ）取AB的中点F，连结CF，则CF⊥AB，
如图，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系， 则P（0，0，a），（a＞0），E（=（
），
，﹣，），
=（
，﹣，），
=（0，0，a），
设=（x，y，z）是平面PAC的一个法向量， 则
，取x=1，得=（1，﹣
，0），
设平面EAC的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，﹣，﹣），
∵二面角P﹣AC﹣E的大小为45°， ∴cos45°=|cos＜解得a=2
＞|==，﹣2），
=，
，此时=（1，﹣
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∴=（），
设直线PA与平面EAC所成角为θ， 则sinθ=|cos＜
＞|=
=
=
．
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．
25．设a，b∈R，函数f（x）=ax+．g（x）=x2+b，
（1）若a=﹣3，b=0，求函数h（x）=f（x）?g（x）在区间（0，1]上的最值；
（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的最大值； （3）若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）将a，b的值代入h（x），求出h（x）的导数，从而求出h（x）的最值； （2）问题转化为a≤可；
（3）问题转化为a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）=x2﹣的图象都有3个交点，结合函数的单调性以及函数的图象判断即可． 【解答】解：（1）a=﹣3，b=0时，h（x）=﹣3x3+x（x≠0）， ∴h′（x）=﹣9x2+1，
由h′（x）≤0得：x≤﹣或x≥， 由h′（x）≥0得﹣≤x≤，
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﹣2x，在x∈（0，1]时恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即
∴h（x）在（0，]递增，在[，1）递减， 又x→0时，h（x）→0，h（）=，h（1）=﹣2， ∴h（x）在（0，1]上的最大值是h（）=， 在（0，1]上的最小值是h（1）=﹣2； （2）m（x）=ax++x2+b，m′（x）=a﹣
+2x，
由题意x∈（0，1]时，m′（x）≤0恒成立， 即a≤又∴
﹣2x，在x∈（0，1]时恒成立，
﹣2x在x∈（0，1]递减， ﹣2x在（0，1]上的最小值是﹣1，
∴a≤﹣1，即a的最大值是﹣1；
（3）原问题转化为：若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程x2﹣=ax﹣b有三个不同的解，求b的范围，
即a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）=x2﹣的图象都有3个交点，
∵F′（x）=2x+=，
由F′（x）＞0，得x＞﹣由F′（x）＜0，解得：x＜﹣∴F（x）在（﹣∞，﹣如图示：
且x≠0，
，
，0），（0，+∞）递增，
）递减，在（﹣
，
a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）（x＞0）有1个交点，
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