最新版高中数学教考试大纲识点总结
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：
a α
b β => a∥α a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β b β
a∩b = P β∥α a∥α b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
a∥α
a β a∥b α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
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如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直
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线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ?当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ?当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，
即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线l经过点P(x0,y0)，且斜率为k 02、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与
y?y0?k(x?x0)
y轴的交点为(0,b) y?kx?b
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点P(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x112、直线的截距式方程：已知直线l与
?x2,y1?y2) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a?0,b?0
Ax?By?C?0（A，B不同时为0）
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组
?3x?4y?2?0 得 x=-2，y=2 ??2x?2y?2?018
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所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2 3.3.3
两点间距离
点到直线的距离公式
两点间的距离公式 1．点到直线距离公式： 点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?Ax0?By0?CA?B22
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平
PP12??x2?x2???y2?y1?22行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1 ?0，
l2Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?C1?C2A?B22
第四章
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：(x?a)2圆与方程
?(y?b)2?r2
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点M(x0,y0)与圆(x?a)（1）(x0（3）(x02?(y?b)2?r2的关系的判断方法：
?a)2?(y0?b)2>r2，点在圆外 （2）(x0?a)2?(y0?b)2=r2，点在圆上 ?a)2?(y0?b)2 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线l：ax?by?c?0，圆C：x?y?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，圆心(?距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当d（2）当d?r时，直线l与圆C相切； ?r时，直线l与圆C相离； 19 22DE,?)到直线的22 最新版高中数学教考试大纲识点总结 （3）当d?r时，直线l与圆C相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当|r1?r2|?l?r1?r2时，圆C1与圆C2相交； （4）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． RMOPQM'y4.3.1空间直角坐标系 1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标 2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点 x3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，坐标。 y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖 z4.3.2空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式 P1P2P1P2?(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2) 222N1xOM1MM2HN2yN 20