2013海淀区一模数学试题解析及点评
2013年海淀区一模已结束。新东方在线[微博]、北京新东方优能中学[微博]高考[微博]辅导团队第一时间对一模试题进行了解析，以下是数学老师周帅的解析及点评。
总体来看，难度比正常年份要稍大一些。海淀一模数学依然保持了应有的难度和区分度，在基础和中档题的部分重点考察了高中数学几大模块的核心知识和重要方法，而在传统意义上认为较难的一些题目上，则做了相应的思考和计算上的难度设计。下面结合试卷中的一些典型题目，来对于考试思路和解决方法做一些具体分析。 选择题
第1题可能就有部分同学不小心犯错而误选C，而其实这是模拟2010年高考题第一题的考法，关键问题不是不等式的求解，而是“”这个范围的设计。范围问题，是在高中数学里除了计算之外经常被命题人重点关注的。正确答案应为B。 第4题线性规划难度不大，考察了直线围成的区域面积问题，和2012年高考思路一致，但没有结合几何概型而是考察了动直线斜率变化的问题；线性规划的核心问题是直线的斜率和交点，斜率决定区域形状，交点决定最值结果。只要用一条过原点的直线旋转和已知区域相交即可得到正确答案D。
第5题的向量是我们一直在强调的向量图形化问题。向量的两种重要解决思路：图形化和坐标化在近几年的高考题中体现得尤为充分，2012北京高考填空题13题是考的坐标化，本题考的是图形化，只要画出等边三角形，即可得出结果，判断标志是题目中出现了向量的加法和减法。本题答案为A。
第7题依然考察了解析几何的动点最值问题，和前几年模拟考试的思路保持一致。本题可以设动点坐标带入距离公式，利用分式函数(对勾函数)求最值的方法，这是小题大题化的考法，也可以依据我们讲过的“特殊情况取最值”的潜规则设P点坐标为特殊数字检验出结果，本题应选B，在轴的时候取得。
这几个题目都是考试中所有同学要掌握的核心而稍微有些变化和难度的问题，但用到的方法和思想是我们平时一直在强调的，特别是对于命题规律及变化的了解。另外，第2题极坐标，第3题算法框图，第6题有放回的抽取问题，都是常规考法。值得一提的是这次立体几何没有考正常的三视图求长度或面积问题，而是考察了新背景下的对于图形性质的探索，需要同学们根据直三棱柱的性质大胆猜测和简单验证，或者也可以利用空间直角坐标系算出结果。 填空题
第9题简单得令人容易去想是不是题目有陷阱，复数的基础知识；10，11，12则考察了等差数列性质，圆的切割线定理，正余弦定理的直接计算。
第13题保持了一贯的分段函数在范围内零点的考法。3个零点只可能是指数函数一个，二次函数一个。指数函数考图像和特殊点，二次函数考判别式和韦达定理，如果对于这些基本考法有很好的了解及对于数形结合的计算有基本的掌握，不难算出这个答案。 第14题是以三角函数的单调和周期性为背景，结合传统的14题考法，即给出新的定义和情境，来综合考察学生对于函数单调性和最值的理解，以及对于三角函数图像的使用。如果平时对于此类变形题联系较多，至少可以准确猜出第一空答案是2，第二空在图像上取一些特殊点进行猜测，再结合周期性也是可能做对的。
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海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （文科） 2013.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
21. 集合A?{x?N | x?6},B?{x?N | x?3x?0}，则A?B?
A. {1,2} B. {3,4,5} C.{4,5,6}D.{3,4,5,6} 2.等差数列{an}中, a2?3,a3?a4?9, 则a1a6的值为
A. 14 B. 18 C. 21 D.27
3. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为 Ａ.
4. 已知a?0，下列函数中，在区间(0,a)上一定是减函数的是
2 Ａ. f(x)?ax?b B. f(x)?x?2ax?1
[来源:学科网] 开始 输入x x?x?2 12x?0 否 B. 1 C. 2 D.?1
是 y?2 x
输出y 结束 xC. f(x)?a D. f(x)?logax
?x?1,?5. 不等式组?x?y?4?0,表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为
?kx?y?0?A. 0 B. 1 C. 2 D.3 6. 命题p:???R,sin(π??)?cos?； 命题q:?m?0,双曲线则下面结论正确的是
A. p是假命题 B.?q是真命题C. p?q是假命题 D. p?q是真命题 7.已知曲线f(x)?lnx在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,?1)，则x0的值为
xm22?ym22?1的离心率为2.
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Ａ.
1e B. 1 C. e D.10
28. 抛物线y?4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当
?FPM为等边三角形时，其面积为
A.23 B. 4 C. 6 D.43
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 在复平面上，若复数1+bi（b?R）对应的点恰好在实轴上，则b=_______. 10.若向量a,b满足|a|?|b|?|a?b|?1，则a?b 的值为______. 11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______. 12.在?ABC中，若a?4,b?2,cosA?x244主视图24俯视图22侧视图14，则c?______.
??2?a, x?0,f(x)?13.已知函数有三个不同的零点，则实数a的取 ?2??x?ax?a, x?0值范围是_____.
14.已知函数y?f(x)，任取t?R，定义集合:
At?{y|y?f(x)，点P(t,f(t))，Q(x,f(x))满足|PQ|?2}. 设Mt,mt分别表示集
合At
中元素的最大值和最小值，记h(t)?Mt?mt.则 (1) 若函数f(x)?x，则h(1)=______; （2）若函数f(x)?sinπ2x，则h(t)的最小正周期为______.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数f(x)?2?(3sinx?cosx)2.
（Ⅰ）求f()的值和f(x)的最小正周期；
3π（Ⅱ）求函数在区间[?ππ,]上的最大值和最小值. 63 - 3 -
16. （本小题满分13分）
在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.
频率 0.375 0.200科目：数学与逻辑频率0.375科目：阅读与表达
0.1500.0750.025等级等级
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17. （本小题满分14分）
在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，?ABC是正三角形，
AC与BD的交点M恰好是AC中点，又?CAD?30，PA?AB?4，
? P点N在线段PB上，且
PNNB?13．
N（Ⅰ）求证：BD?PC；
（Ⅱ）求证：MN//平面PDC；
（Ⅲ）设平面PAB?平面PCD=l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由.
BADMC
18. （本小题满分13分）
函数f(x)?133x?kx,其中实数k为常数.
(I) 当k?4时，求函数的单调区间；
(II) 若曲线y?f(x)与直线y?k只有一个交点，求实数k的取值范围. 19. （本小题满分14分）
已知圆M：(x?2)?y?2273,若椭圆C：
xa22?yb22?1（a?b?0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为22. （I）求椭圆C的方程；
（II）已知直线l：y?kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，，且AG?BH，求k的值. H两点（其中点G在线段AB上）
20. （本小题满分13分）
设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点，其中xA,yA,xB,y?Z.令B?x?xB?xA，?y?yB?yA，若?x+?y=3,且|?x|?|?y|?0，则称点B为点A的“相关
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