18. 解：（I）因为f(x)?lnx?ax2?bx,所以f?(x)?1x?2ax?b??????2分
因为函数f(x)?lnx?ax2?bx在x?1处取得极值 f?(1)?1?2a?b?0??????3分
2x?3x?1x2当a?1时，b??3，f?(x)?，
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
1121x (0,) 2? (,1) 2? 1 （1，+?） f'(x) f(x) 0 极大值 0 极小值 ? ? ? ? ??????5分
1（1，+?）所以f(x)的单调递增区间为(0,), 21 单调递减区间为(,1)??????6分
2(II)因为f?(x)?2ax?2(a?1)x?1x12a2?(2ax?1)(x?1)x
令f?(x)?0,x1?1,x2???????7分
因为f(x)在 x?1处取得极值，所以x2?12a12a?x1?1
当?0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减
所以f(x)在区间?0,e?上的最大值为f(1)，令f(1)?1，解得a??2??????9分
- 21 -
当a?0，x2?12a12a?0
当?1时，f(x)在(0,12a1)上单调递增，(12a,1)上单调递减，(1,e)上单调递增
所以最大值1可能在x?2a或x?e处取得
而f(12a)?ln12a?a(12a)?(2a?1)212a?ln12a?14a?1?0
所以f(e)?lne+ae2?(2a?1)e?1，解得a?1e?2??????11分
当1?12a?e时,f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,12a)上单调递减，(12a,e)上单调递增
所以最大值1可能在x?1或x?e处取得 而f(1)?ln1?a?(2a?1)?0 所以f(e)?lne+ae2?(2a?1)e?1，
1e?212a12a解得a?，与1?x2??e矛盾??????12分
当x2?? e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，
所以最大值1可能在x?1处取得，而f(1)?ln1?a?(2a?1)?0，矛盾
1e?2综上所述，a?或a??2. ??????13分
1９.（本小题满分14分） 解：（I）设椭圆的焦距为2c， 因为a?2，
ca?22，所以c?1，所以b?1.
- 22 -
所以椭圆C：
x22?y?1??????4分
2（II）设A（x1，y1），B(x2，y2)
?y?kx由直线l与椭圆C交于两点A，B，则?2 2x?2y?2?0?所以(1?2k2)x2?2?0 ，则x1?x2?0，x1x2??221?2k2??????6分
所以AB?(1?k)281?2k2?8(1?k)1?2k2??????7分
点M（2，0）到直线l的距离d?222k1?k2
则GH?2r?22k??????9分
1?k显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y?kx就是y轴，矛盾，
所以要使AG?BH，只要AB?GH
8(1?k)1?2k222H B G 所以
?4(r?22k221?k)
A r?2k221?k?2(1?k)1?2k22?2(3k?3k?1)2k?3k?14242?2(1?k4422k?3k?1)??????11分
当k?0时，r?22??????12分
当k?0时，
r?2(1?1k4?13k2)?2(1??212)?3
又显然
r?2(1?21k4?13k2)?2?2, 所以2?r?3 综上，2?r?3??????14分
- 23 -
20.解：（Ⅰ）因为?x+?y=3(?x,?y为非零整数）
故?x?1,?y?2或?x?2,?x?1，所以点P0的相关点有8个??????2分 又因为(?x)2?(?y)2?5，即(x221?x0)?(y1?y0)?5
所以这些可能值对应的点在以P0为圆心，5为半径的圆上??????4分 （Ⅱ）依题意Pn(xn,yn)与P0(x0,y0)重合
则xn?(xn?xn?1)?(xn-1?xn?2)?...?(x2?x1)?(x1?x0)?x0?x0，
yn?(yn?yn?1)?(yn-1?yn?2)?...?(y2?y1)?(y1?y0)?y0?y0
即(xn?xn?1)+(xn-1?xn?2)+...+(x2?x1)+(x1?x0)=0，
(yn?yn?1)+(yn-1?yn?2)+...+(y2?y1)+(y1?y0)=0
两式相加得
[(xn?xn?1)+(yn?yn?1)]+[(xn?1?xn?2)+(yn-1?yn?2)]+...+[(x1?x0)+(y1?y0)]=0因为xi,yi?Z，xi?xi?1?yi?yi?1?3(i?1,2,3,...,n) 故(xi?xi?1)+(yi?yi?1)(i=1,2,3,...,n)为奇数，
于是（*）的左边就是n个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n一定为偶数??????8分
（Ⅲ）令?xi?xi?xi?1,?yi?yi?yi?1,(i?1,2,3,...,n)， 依题意(yn?yn?1)?(yn?1?yn?2)?...?(y1?y0)?100，
n因为T??xi?x0?x1?x2???xn
i?0?1?(1??x1)?(1??x1??x2)???(1??x1??x2????xn) ?n?1?n?x1?(n?1)?x2????xn??????10分
因为有?xi+?yi?3，且?xi，?yi为非零整数， - 24 -
*）（
所以当?xi?2的个数越多，则T的值越大，
而且在?x1,?x2,?x3,..,?xn这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T的值越大 而当?yi取值为1或?1的次数最多时，?xi取2的次数才能最多，T的值才能最大. 当n?100时，令所有的?yi都为1，?xi都取2， 则T?101?2(1?2???100)?10201. 当n?100时，
若n?2k(k?50,k?N*)，
此时，?yi可取k?50个1，k?50个?1，此时?xi可都取2，S(n)达到最大 此时T=n?1?2(n?(n?1)???1)?n2?2n?1.
若n?2k?1(k?50,k?N*),令?yn?2,其余的?yi中有k?49个?1，k?49个1. 相应的，对于?xi，有?xn?1,其余的都为2， 则T?n?1?2(n?(n?1)???1)?1?n2?2n
当50?n?100时，令?yi?1,i?2n?100,?yi?2,2n?100?i?n, 则相应的取?xi?2,i?2n?100,?yi?1,2n?100?i?n,
则T=n?1+2(n?(n?1)??(101?n))?((100?n)?(99?n)??1)
n?205n?1009822?
?n2?205n?10098, 50?n?100,?2??2综上，T??(n?1), n?100且为偶数，??????13分
?2n+2n, n?100且为奇数.???
- 25 -