频率 0.375 0.200科目：数学与逻辑频率0.375科目：阅读与表达0.1500.0750.025等级等级
17.（本小题满分14分）
在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，?ABC是正三角形，
?AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA?AB?4，?CDA?120，
PN点N在线段PB上，且PN?（Ⅰ）求证：BD?PC；
2．
ADMBC（Ⅱ）求证：MN//平面PDC; （Ⅲ）求二面角A?PC?B的余弦值．
18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?lnx?ax2?bx(其中a,b为常数且a?0)在x?1处取得极值. (I) 当a?1时，求f(x)的单调区间；
(II) 若f(x)在?0,e?上的最大值为1，求a的值.
19.（本小题满分14分）
- 16 -
已知圆M：(x?2)?y?r（r?0）.若椭圆C：
222xa22?yb22?1（a?b?0）的右顶
点为圆M的圆心，离心率为（I）求椭圆C的方程；
22.
（II）若存在直线l：y?kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且AG?BH，求圆M半径r的取值范围.
20.（本小题满分13分）
设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点，其中xA,yA,xB,yB?Z.令
?x?xB?xA，?y?yB?yA，若?x+?y=3,且|?x|?|?y|?0，则称点B为点A的“相关
点”，记作：B??(A). 已知P0(x0, y0)(x0,y0?Z)为平面上一个定点，平面上点列{Pi}满足：Pi??(Pi?1)，且点Pi的坐标为(xi,yi)，其中i?1,2,3,...,n.
（Ⅰ）请问：点P0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若P0与Pn重合，n一定为偶数；
n（Ⅲ）若P0(1,0)，且yn?100，记T??xi?0i，求T的最大值.
参考答案及评分标准2013．4
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 9．0 10．14 11.
245
- 17 -
12．3, 31516 13．
49?a?1 14．2, (2k?1,2k),k?Z
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）
解：（I）因为f(x)?2?(3sinx?cosx)2
= 2?(3sinx?cosx?23sinxcosx)?2?(1?2sinx?= 1?2sinx??cos2x?22223sin2x)??????2分
3sin2x
3sin2x??????4分
= 2sin(2x?π6)??????6分所以
πππ2πf()?2sin(2??)?2sin?44633??????7分
所以 f(x)的周期为T?2π|?|?2π2= π??????9分
（II）当x?[?πππ2πππ5π]，(2x?)?[?,,]时，2x?[?,] 3363666π6所以当x??π6时，函数取得最小值f(?)??1??????11分
当x?ππf()?2??????13分 时，函数取得最大值
6616.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有10?0.25?40人??????1分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
- 18 -
40?(1?0.375?0.375?0.15?0.025)?40?0.075?3??????3分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1?(40?0.2)?2?(40?0.1)?3?(40?0.375)?4?(40?0.25)?5?(40?0.075)40?2.9
??????7分
（Ⅲ）设两人成绩之和为?，则?的值可以为16，17，18，19，20??????8分
C62P(??16)?C1012?1545， P(??17)?2C6C2C10211?1245445
P(??18)?C6C2C10C2221?C2C1012?1345， P(??19)?C2C2C10211?
P(??20)?C102?45
所以?的分布列为
X[来源学_科_网] 16 17 18 19 20 P 1545 1245 1345 445 145 ??????11分 所以Eξ?16?1545?17?1245?18?1345?19?445?20?145?865
所以?的数学期望为
865??????13分
17.证明：(I) 因为?ABC是正三角形，M是AC中点， 所以BM?AC,即BD?AC??????1分
又因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，PA?BD??????2分 又PA?AC?A，所以BD?平面PAC??????3分
又PC?平面PAC，所以BD?PC??????4分（Ⅱ）在正三角形ABC中，
- 19 -
BM?23??????5分
在?ACD中，因为M为AC中点，DM?AC，所以AD?CD
??CDA?120，所以DM?233，所以BM:MD?3:1??????6分
在等腰直角三角形PAB中，PA?AB?4，PB?42，
所以BN:NP?3:1，BN:NP?BM:MD，所以MN//PD??????8分 又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所以MN//平面PDC??????9分 （Ⅲ）因为?BAD??BAC??CAD?90?，
所以AB?AD，分别以AB,AD, AP为x轴, y轴, z轴建立如图的空间直角坐标系， 所以B(4,0,0),C(2,23,0),D(0,由（Ⅱ）可知，
????43DB?(4,?,0)为平面PAC的法向量??????10分
3????????PC?(2,23,?4)，PB?(4,0,?4) ?设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z),
???n则????n?????2x?23y?4z?0?PC?0?????，即?， ?PB?0??4x?4z?0NzP433ADMCy,0),P(0,0,4)
Bx?令z?3,则平面PBC的一个法向量为n?(3,3,3)??????12分
?????n?DB7cos???????A?PC?B?设二面角的大小为， 则 ?7n?DB所以二面角A?PC?B余弦值为
77??????14分
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