第一章 概率论的基本概念
在17世纪产生了概率论，概率论起源于赌博。曾经有一个传说，在1654年，有一个名叫梅累的赌徒，他长时间都在纠结一个关于赌博的问题：“两个赌徒提前约赌几局，谁先赢了就算谁赢，所得赌本归先赢的那个人。然而，如果其中一个人赢了（）局时，停止赌博。问：应该怎样分赌本才更合理？”他像数学家帕斯卡提出了这个个问题，也正因为这个问题的出现，对概率论的产生起了推动作用。
自然界和社会上发生的现象是多种多样的，有一类现象，在一定条件下必然会发生，例如，每天太阳东升西落，向上丢东西必然落下，同性电荷必相互排斥，等等。这类现象成为必然现象。同时在自然界和社会上也存在着另一类现象，例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，而且每次在抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么；行驶在大路上，无法确定下一个路口是绿灯还是红灯。这类现象，在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在事件发生之前不能预知确切的结果。但经过人们长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验活着观察下，它的结果却呈现出某种规律性。例如，多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半，等等。这种在大量重复试验或者观察中所呈现的固有规律，就是我们所说的统计规律。
这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。概率论就是一门以探究随机现象规律性为主的数学学科。
1.1古典概型
定义 概率论的基本研究课题之一就是寻求随机事件的概率。我们先讨论一类
最早被研究、也是最常见的随机试验。这类随机试验具有下述特征： （1）全部可能结果只有有限个，不妨设为n个，并记为?1,?2,???,?n； （2）这些结果的发生是等可能的，即有
P(?1)?P(?2)?????P(?n)，
通常称这种数学模型为古典概型。
由古典概型随机试验的特征可以看出，如果一个试验E，在它的样本空间?中共有n个基本事件：?1,?2,???,?n，则每一基本事件在一次试验中发生的可能性都
1是。对任一随机事件A来说，如果A包含了其中的k个基本事件，则A发生的n1k可能性应该是的k倍，即 ，所以事件A的概率
nn P?A??kA包含的基本事件数A包含的样本点数?? （1.1.1） n?中包含的基本事件数?中的样本点总数 6
式（1.1.1）称为概率的古典定义。 1.1.1
古典概型在彩票业中的应用
例1 “双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1-33中选择；蓝色球号码从1-16中选择。例如，红球用\oo\表示，篮球用''?''表示。奖项如下： 中奖 奖级 条件 单注奖金 红球 篮球 1.当奖池资金（即当期末未发放的奖金的积累值， 至于它的实际数额，要看销售量的多少）低于1亿 元时，奖金总额为当期高等奖奖金的70%与奖池中 累积的奖金之和，单注奖金按注均分，单注最高限 额封顶500万元。 一等奖 oooooo ? 2.当奖池资金高于1亿元（含）是，奖金的总额就将包括两部分，一部分喂当期高等奖奖金的50%与奖池做累积的奖金之和，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元；另一部分为当期高等奖奖金的20%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元 二等奖 oooooo 当期高等奖奖金的30% 三等奖 ooooo ? 单注固定奖金额2000元 四等奖 ooooo 单注固定奖300元 ? 五等奖 oooo 单注固定奖金额100元 oooo ? 六等奖 ooo 单注固定奖金额10元 分析：中奖概率以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率。 中一等奖（无顺序，无重复数，红球由6个数组成，篮球只有一个数）共有m161种可能存在的排列方式：m1?C33C16?12759183360 6 中二等奖共有m2种排列方式：m2?C33 ?79744896051 中三等奖共有m3种排列方式：m3?C33 C16?45568512041 中五等奖共有m5种排列方式：m5?C33 C16?15713280431 中六等奖共有m6种排列方式：m6?C33 ?C33C16?1505856 解：通过计算我们可得：
1?0.784?10?10； 一等奖中奖概率P1?m1
7
二等奖中奖概率P2?1三等奖中奖概率P3?1四等奖中奖概率P4?1五等奖中奖概率P5?1六等奖中奖概率P6?1m2m3m1m5m6?0.125?10?8； ?0.219?10?8； ?0.351?10； ?0.636?10?7； ?0.664?10?6；
?7?6所以综合中奖率 P?P1?P2?P3?P4?P5?P6?0.766?10
通过对本例的研究，我们可以了解到：每1000000注彩票，约有7.7注彩票（包括高等奖到低等奖）中奖，另外有注的彩票全部都未能得到回报。由此可见，通过博彩来赚钱绝对是不合算的，从纯数学的角度来讲，当概率低于11000时我们就可以忽略不计。在实际生活中，也只有极少数人中奖，购买者应保持平常心，决不能将它当做一种纯粹的投资，也不能把它视为纯粹的赌博。只有将其作为一种娱乐，甚至也可以将此视为公益事业。做贡献、献爱心，达到“救济、助残、扶老、救孤”的目的，从而在购买彩票的活动中使我们更具理性。
1.2条件概率
条件概率是概率论中的一个重要重要而实用的概念，所考虑的是事件
生的条件下事件B发生的概率。
定义 设事件A，B是两个事件，且P(A)?0,称 P(BA)?A已发
P(AB) （1.2.1） P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
1.2.1 条件概率分析
例2 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“二次取到的是一等品”，试求条件概率P(BA)。
解 易知此属于古典概型，将产品编号，1,2,3为一等品；4为二等品，以（i,j）表示第一次第二次分别取到弟i号、第j号产品。试验E（取产品两次，记录其号码）的样本空间为 S={（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4）,...,(4,1),(4,2),(4,3)}; A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}; AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}. 按（1.2.1）式，得条件概率
8
6P(AB)2 P(BA)??12?
9P(A)312这是最基本，最简单的条件概率问题。
1.3 全概率公式
定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,???,Bn为S的一个划分，且
P(Bi)?0(i?1,2,???,n)，则
P(A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)?????P(ABn)P(Bn) （1.3.1） （1.3.1式称为全概率公式。
在很多实际问题中P(A）不易直接求得，但是却容易找到S的一个划分且P(Bi)和P(ABi)或为已知，或容易求得，那么就可以依据（1.3.1）B1,B2,???,Bn，式求得P（A）。
1.3.1 公平抽签问题（全概率公式的应用）
例3 再一次判定物品的归属的决策时，众人决定通过抽签决定。设共有n张纸签，其中有一张做了彩色标记，抽到就可以得到判定物。问第二个人就抽到彩签的概率是多少。
解 设Ai表示事件“第i人抽到彩签”，i=1,2，...，n。现在目的是要求P(Ai)。因为A1是否发生世界关系到A2发生的概率，即 P(A2A1)?0,P(A2A1)?而A1与A2是两个概率大于0 的事件；
1n?1 P(A1)?,P(A1)?
nn于是由（1.3.1）得：
1， n?1 P(A2)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)?同理可得
1n?111?0??? nnn?1n1 n 由上式可知，当一个人抽签时，不论先后顺序，每个人抽到的概率都是相等的，也就是说，抽签的顺序性不会影响其公平性。
P(A3)?P(A4)?????P(An)?1.4 贝叶斯公式
9
定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,???,Bn为S的一个划分，且
P(A)?0,P(Bi)?0(i?1,2,???,n),则 P(BiA)?P(ABi)P(Bi)?P(AB)P(B)jjj?1n,i?1,2,???,n （1.4.1）
（1.4.1）式称为贝叶斯（Bayes）公式。
1.4.1 追究责任问题（贝叶斯公式的应用）
例4 有一工厂有4个车间同时生产一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，各个车间的次品率分别为5%，4%,3%,2%,有一客户买了这个工厂的意见产品，发现这件产品是次品。当厂长追究车间生产责任时，发现该产品的生产车间标志已经脱落。问厂长应当如何追究各个车间的生产责任？
分析： 由于不知道这件产品是哪个车间生产的，因此每个车间都要负责。各个车间所负责任的大小应该正比该产品各个车间生产的概率。 解： 设Aj?“该产品是j车间生产的”，j=1,2,3,4； B=“从该厂的产品中任取1件恰好取到次品”，
则第j个车间所负责任的大小（比例）为条件概率P(AjB),j?1,2,3,4； 由（1.4.1）式可得： P(AjB)?P(BAj)P(B)?P(Aj)P(BAj)?P(A)P(BA)jjj?1n,j?1,2,3,4
由题意又可知
P(A1)?0.15,P(A2)?0.2,P(A3)?0.3,P(A4)?0.35.P(BA1)?0.05,P(BA2)?0.04,P(BA3)?0.03,P(BA4)?0.02
所以有
0.15?0.050.0075??0.2380.15?0.05?0.2?0.04?0.3?0.03?0.35?0.020.03150.2?0.040.008P(A2B)???0.2540.15?0.05?0.2?0.04?0.3?0.03?0.35?0.020.0315
0.3?0.030.009P(A3B)???0.2860.15?0.05?0.2?0.04?0.3?0.03?0.35?0.020.03150.35?0.020.0105P(A4B)???0.2220.15?0.05?0.2?0.04?0.3?0.03?0.35?0.020.0315P(A1B)?即第1,2,3,4车间所负责任比重分别是0.238,0.254,0.286,0.222.
1.4.2 疾病预测问题（贝叶斯公式的应用）
10