例5 已知在人群中肝癌患者占0.4%。用甲胎蛋白试验法进行普查，肝癌患者显示阳性反应的概率为95%，非肝癌患者显示阳性反应的概率为4%。现有一个人用甲胎蛋白试验法检查，查出是阳性，计算他确实是肝癌患者的概率。 解 设A={检查结果为阳性}，B={是肝癌患者}。则
P(B)?0.4%,P(B)?99.6%,P(AB)?95%,P(AB)?4%, 由（1.4.1）式可得：
P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.4%?95%?8.71%
0.4%?95%?99.6%?4%这个结果表明，即使查出结果是阳性反应，真正的肝癌的概率仍然是很小的。
1.5 独立性
设A,B是试验E的两事件，若P(A)>0，可以定义P(BA).一般，A的发生对B的发生的概率是有影响的，这时P(BA)?P(B),只有在这种影响不存在时才会有
P(BA)?P(B),这时就有
P(AB)?P(BA)P(A)?P(A)P(B) 定义 设A，B是两事件，如果满足等式
P(AB)?P(A)P(B), (1.5.1) 则称事件A,B相互独立，简称A,B 独立。
1.5.1 独立性概率应用分析
例6 甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，已知在每一局中，甲胜出的概率为0.4，乙胜出的概率为0.6，比赛采取五局三胜制，问甲最终获得胜利的概率是多少？
分析：每局胜出的概率之间是互不影响，肯定是独立的。而且，每一局比赛只有“甲胜”活着“乙胜”两种结果。
解 设事件A={甲胜}，P(A)?0.4,P(A)?1?0.4?0.6.
甲最终获胜，有三种互不相容的情况，即：（1）前三局中甲连胜3局；（2）前三局中甲胜两局，第4局是甲第3次获得胜利；（3）前四局中甲胜2局，第5局时甲获得第3次胜利。这三种情况概率分别为 P{前3局中甲连胜3局}=0.43；
22P{前3局中甲胜2局，第4局甲胜}=C30.420.61?0.4?C30.430.6； 22P{前4局中甲胜2局，第5局甲胜}=C40.420.62?0.4?C40.430.62;
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设
A1?{前3局甲连胜}，A2?{第4局时甲第3次获胜}。A3?{第5局时甲第3次获胜}，B?{甲最终获胜}显然有B?A1?A2?A3,且A1,A2,A3互不相容，所以 P(B)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?0.31744 第二章 随机变量的数字特征及其应用
2.1 数学期望
定义 设离散型随机变量X的分布律为
P(X?xk)?pk,k?1,2,???. 若级数
?xkpk
k?1?绝对收敛，则称级数?xkpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即
k?1? E(X)??xkpk （2.1.1）
k?1? 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
? ?xf(x)dx
???绝对收敛，则称积分?xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).即
??? E(X)????xf(x)dx （2.1.2）
数学期望简称期望，又称为均值。
2.1.1 商品流通问题（数学期望的应用）
例1 夏季某个服装店预计进购一批服装，根据以往经验来预测这批新服装销售量为40,100.120（件）的概率分别为0.2,0.7,0.1，这件夏季服装的订购价为60元，销售价格100元，若夏季售不出以后处理每件40元，试由概率统计知识来预测应订购多少件新服装？
分析：售出一件获利40元，处理后则每件将亏损20元，为决定进货量，应先求在不同销售量时盈利的数学期望。
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（100-60）?1600（元）解 （1）订购40件，销售40件，盈利为40?，则
E?1?1600元
（2）订购100件，销售40件、100件。盈利分别为
（元），100?（100-60）?4000（元） 40?100-100?60?60?40?400，
则 E?2?400?0.2?4000?0.7?4000?0.1?4000元
（3）订购120件，销售40件，100件，120件时的盈利分别为
40?100-120?60?80?40?（元）0（元），100?100-120?60?20?40?3600， 120?（100-60）?4800（元），则
E?3?0?0.2?3600?0.7?4800?0.1?3000元
根据盈利的数学期望大小，决定顶100件这样的夏季服装。
2.1.2 企业经济效益问题（数学期望的应用）
在企业经营过程中产生的效益方面，商界人士为此做了不少努力。数学期望的
应用就可以在这表现出来。由于产品的销量时刻发生变化，所以对这一随机变量采用数学期望的方法求得企业的最大效益得到了多数企业的认可，也为更多企业的发展提供了一个新思想。
例2 某工厂出售一种原材料，按市场价来讲，出售1吨该原料可获利1.5千元，积压1吨则亏损0.5千元。而且，该材料在市场上的需求购买量x（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布，若该工厂想获得最大利润，应准备多少吨货源？ 解 设该工厂应该准备?吨货源，y为?吨货源所获得利润.由题意可知，
300???500，设y?f(x)，则
?1.5?,x?? y?f(x)??
?2x?0.5?,x?? 利用（2.1.2）式可得：
??300 E(y)????f(x)px(x)dx?500?f(x)11dx?(??2?900??3002) 200200b公式，当?取4502a吨时，E（y）取得最大值，即该工厂的利润的期望值达到最大。
由二次函数求最大值最小值的方法计算可得，利用??-2.2 方差
研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的，那么，用怎样的量去度量
这个偏离程度呢？容易看到
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E{X?E(X)}
能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度，但由于上式带有绝对值，运算不方便，为简便运算，通常用量 E{[X-E(X)]2}
来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度。
定义 设X是一个随机变量，若E{[X?E(X)]2}存在，则称E{[X?E(X)]2}为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即
D(X)=Var(X)=E{[X?E(X)]2}.
在应用上还引入量D(X),记为?（X），称为标准差或均方差。
2.2.1 产品是否符合标准问题（方差分析）
例3 一汽车轮胎制造商声称，他们生产的某一等级的轮胎平均寿命在一定汽车重量和正常行驶条件下大于50000km。现对这一等级的120个轮胎组成的随机样本进行了测试，测得平均每一个轮胎的寿命为51000km，样本标准差是5000km，已知这种轮胎寿命服从正态分布。试根据抽样数据在显著水平a=0.05下判断该制造商的产品是否与他们说的相符。
解 设X表示制造商生产的某一等级轮胎的寿命（单位：km），由题意知，
X~N(?,?),方差?2未知。n?120,x?51000(km),s?5000(km)
设统计假设H0：???0?5000，H1:???0?5000 设a=0.05时，临界值t1?a(n?1)?t0.95(119)?1.65. c?s5000t1?a(n?1)??1.65?753.1185
120n拒绝域K0?{x?5000?c?753.1185}
由于x?5000?1000?c，所以拒绝域H0，接受H1，即认为该制造商的声称可信，其生产的轮胎平均寿命显著的大于50000km。
第三章 概率论中小概率事件
3.1 小概率事件的概念及其原理
概念
在概率论中，把概率非常接近于0的事件称为小概率事件。概率非常接近于0，
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并不意味着某个时间绝对不会发生，而是表明这个事件几乎不会发生，但是当出现意外情况时，小概率事件亦会发生。
通常情况下，小概率论事件的概率值有两个：0.01和0.05。如果一件事发生的概率不会超过0.01，或者在0.05以下，那它就属于小概率事件。成为小概率事件有2个条件不可缺少：一是发生的概率小，二是需要做多次试验。 原理
小概率事件原理也被称为实际推断原理，实际上一个小概率事件在一次试验中并不会发生。一个事件的发生有可能和不可能两种情况，如果是可能发生的，它发生的机会也是有区别的。当发生的机会小到一定程度时，这个事件就会出现了，小概率事件就属于发生的机会很小的部分，是不会出现的那部分。同时，我们可以用数字计算来证明小概率事件是一定会出现的，但是要有一定的前提条件。
例如：某个试验第一次进行时，某个事件A出现的概率为p，不出现的概率为
n1-p。如果进行n次这个试验，事件A都不出现的频率为，则A至少出现（1-p）n一次的概率为1（；如果n非常大，基本接近?，那么事件A出现多于一次-1-p）的概率值就和1非常接近了。由此，若一直不断的做试验，并且每个实验都是独立的，那么A肯定会出现很多次。所以说，在一定条件下小概率事件绝对有可能出现。
3.2 小概率事件的应用
在很多领域中，小概率事件具有非常重要的实际意义。系统准确的认识小概
率事件，往往可以帮助我们解决一些难题。我们应该重视小概率事件，在各个方向寻求有力的发展方面，让小概率事件及其原理走进我们的生活，为人类服务。
3.2.1 礼堂座位问题
例1 某学校礼堂在举行一场晚会，在礼堂的第一排有30个座位，现在发现第一排有6个互相紧挨着的作为没有人座，其余都坐满了人，为什么会出现这种现象呢？这种情况是不是正常的，会让人感到意外吗？
24解 30个座位坐了24个人有C30种坐法。现在把6个互相挨着的座位看成一个24整体，因此可以看成25个座位坐了24人，就有C25种坐法。
设A=“24个座位坐满人了并且有6个挨着的座位是空着的”，则：
24C2525 P(A)?24??4.210349e?5
C30593775 从上述结果可知这是一个小概率事件，小概率事件发生了，说明这种情况可能是人为的，即可能是专门为领导留的座位。这种应用对我们平时的工作是很有帮助的。
3.2.2 医疗领域新药研制的应用
例2 针对一种特殊的疾病，目前已经研制出它的新药。已知新药研制前原来药
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